Логические квадраты

Для того чтобы правильно и корректно применять в судебной практике нормы законов, обусловливающих нашу жизнедеятельность, необходимо непрерывное сопоставление различных мнений, точек зрения, подходов. Очевидно, что участники судебных заседаний всегда будут высказывать мысли в форме суждений. Для профессионального анализа ситуации, во-первых, надо иметь отчетливое представление о социальных отношениях, которые будут отражаться в высказываниях (суждениях); во-вторых, необходимо отчетливо понимать и знать, как можно с помощью различного вида высказываний наиболее достоверно отразить реальные события; в-третьих, следует владеть навыками и умениями определять наиболее адекватное соотношение между сутью суждения и структурой предложения.

Идеальным был бы такой случай, когда каждому суждению соответствовало бы одно предложение, и, наоборот, одно предложение выражало бы одно суждение. Но такого никогда не бывает в действительности. Тем не менее, такой идеал служит для того, чтобы к нему приблизиться, насколько возможно в конкретных случаях в судебной практике.

И так как грамматический строй предложения не всегда соответствует логической структуре суждения, то из этого следует необходимость уточнения смыслового содержания суждения.

Это нередко удается осуществить только после преобразования его же формы. Цель такой операции — раскрыть выраженное в суждении логическое отношение понятий- терминов, нс меняя содержания самого высказывания. Способы преобразования могут быть следующие: обращение, превращение, преобразование посредством противопоставления предикату.

Обращение — это преобразование суждения путем взаимного перемещения терминов без изменения качества связки. Таким путем уясняется объем субъекта и предиката, а также объемное отношение между ними.

Возьмем, например, суждение: «Все настоящие судьи прошли через испытания противоречиями, которые возникали у них между их потребностями, целями, а также средствами, способами и формами их достижения». На первый взгляд кажется, что, поменяв местами термины, мы опять получим общеутвердительное суждение. Но это не так. Все дело в том, что в общеутвердительных суждениях предикат не распределен. Поэтому, если мы переставим его на место субъекта, то общеутвердительное суждение превращается в частноутвердительное. В нашем случае это будет записано следующим образом: «Некоторые люди, прошедшие через испытания противоречиями, которые возникали у них между их потребностями, целями, а также средствами, способами и формами их достижения — настоящие судьи».

Как видим, форма ранее приведенного суждения изменилась. Из общего оно стало частным. Содержание уточнилось, хотя осталось прежним.

Из объемных отношений субъектов и предикатов в основных видах суждений вытекают логические правила обращения, которые следует строго соблюдать, чтобы не допустить изменения сети суждения. Их несколько.

  • 1. Общеутвердительное суждение «А» обращается в частноутвердительное «I» через ограничение. Например: «Все лица, совершившие преступления, должны быть подвергнуты справедливому наказанию». Это общеутвердительное суждение. Через ограничение оно обращается в частноутвердительное: «Некоторые лица, совершившие преступления, подвергаются справедливому наказанию». Оно реально отражает положение дел.
  • 2. Частноутвердителыюе суждение «I» обращается в частноутвердительное суждение «I», если термины — перекрещивающиеся понятия. Например: «Некоторые юристы являются депутатами Государственной думы». Здесь в отношении перекрещивания (пересечения) находятся понятия «юрист» и «депутат Государственной думы». Данное утверждение обращается в другое частноутвердительное суждение: «Некоторые депутаты Государственной думы — юристы».

Частноутвердительное суждение «I» может обращаться в общеутвердительное суждение «А», если предикат подчинен субъекту. Например: «Некоторые юристы — судьи Конституционного Суда РФ». Данное частноутвердительное суждение обращается в общеутвердительное: «Все судьи Конституционного Суда РФ — юристы».

  • 3. Общеотрицательное суждение «Е» всегда подлежит простому обращению, ибо оба термина всегда распределены. Например: «Ни один человек не есть машина». Данное общеотрицательное суждение просто обращается в другое общеотрицательное суждение: «Ни одна машина не есть человек».
  • 4. Частноотрицательное суждение «О» не поддается обращению. В нем непосредственный субъект частного суждения нс может стать распределенным предикатом отрицательного суждения.

Превращение — эго преобразование суждения, когда изменяется его качество (характер связки) без изменения смысла и количественной характеристики. Например, общеутвердительное суждение «Все люди — жители планеты Земля» превращается в суждение «Ни один человек не является не жителем планеты Земля». Частноутвердительное суждение «Некоторые студенты скромны» превращается в суждение «Некоторые студенты не есть скромны».

Как видим, здесь общеутвердительное суждение превращается в общеотрицательное, а частноутвердительное — в частноотрицательное. Возможны случаи и обратных превращений видов суждений.

Данная процедура, на первый взгляд, как будто искусственная, позволяет уяснить, что один и тот же предмет не может обладать свойством или отношением, несовместимым с понятием предиката.

Следующий вид преобразования формы суждения — противопоставление предикату, представляющее собой логическую операцию, в результате которой субъектом становится понятие, противоречащее предикату, а предикатом — субъект исходного суждения. Оно осуществляется следующим образом: исходное суждение сначала превращают, т.с. меняют его качественную характеристику, затем обращают, перемещая термины превращенного суждения. В конечном итоге получается суждение, субъектом которого является понятие, противоречащее предикату исходного суждения. Например, конкретное суждение «Аннексия представляет собой насильственное отторжение чужой территории» путем превращения преобразуем в следующую форму: «Аннексия нс может не представлять собой насильственного отторжения чужой территории». Далее, путем обращения этого суждения достигаем противопоставления предикату: «Ненасильственное, т.е. добровольное, присоединение не есть аннексия». Или: «Некоторые свидетели не являются совершеннолетними» — Превращение — «Некоторые свидетели являются несовершеннолетними» — Обращение — «Некоторые несовершеннолетние являются свидетелями».

Этот вид преобразования основывается на положении, что каждое понятие может мыслиться не только в собственном положительном значении, но и по отношению к противоречащему понятию.

Каждый из способов преобразования суждений помогает более точно выражать различные оттенки наших высказываний. Преобразование суждений, примененное в документах, представляемых в суд, делает более отчетливой количественную сторону субъекта и предиката, уясняет объемные отношения терминов. Другими словами, подлежащее и сказуемое в предложениях естественного языка получает новый потенциал отражения реальных предметов и связей. Путем преобразования можно придать новый оттенок мысли, резко усилив ее смысловое содержание. Вот пример изменения смысла суждения: «Я могу провести судебное заседание хорошо». Преобразуя его, получаем: «Я не могу не провести судебное заседание хорошо». Последнее суждение, не изменив смысла предыдущего, включало и психологический компонент мотивационно уверенного в своих силах специалиста, и гражданскую обязанность, ответственность перед Родиной.

После освоения студентом правил и приемов преобразований его способность придать своим высказываниям доказательность и аргументированность получит новый потенциал и силу действия. Без преобразования суждений, без их логически правильной трансформации невозможно глубоко и всесторонне выразить мысль, вплоть до ее эмоциональных нюансов.

Уяснив содержание преобразований форм суждений, рассмотрим логические отношения между суждениями.

Основу отношений между суждениями составляет их сходство по содержанию, выражаемое в таких логических характеристиках, как смысл и истинность суждений.

В соответствии с этим логические отношения устанавливаются не между любыми, а лишь между сравнимыми суждениями, т.е. теми, которые имеют общий смысл. Вообще же суждения, как и понятия, делятся на сравнимые, имеющие одинаковые термины — субъект или предикат — и различающиеся по качеству и количеству, и несравнимые. Сравнимые иногда называют суждениями одинаковой материи.

Например: «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все веселые люди являются студентами» — сравнимы. А суждения: «Все студенты являются веселыми людьми» и «Все студенты являются находчивыми людьми» — несравнимы, так как во втором суждении встречается термин, не входящий в первое.

Сравнимые суждения делятся на совместимые и несовместимые. Например: «Все великие люди низкого роста» и «Некоторые великие люди низкого роста» — совместимы, так как в случае истинности первого суждения второе также истинно. А суждения: «Все великие люди низкого роста» и «Некоторые великие люди не являются людьми низкого роста» — несовместимы, ибо они не могут быть одновременно истинны.

У каждого такого типа отношений есть свои виды. Так отношения совместимости делятся на отношения подчинения и противности. Отношения несовместимости — на отношения противоположности и противоречия.

Отношения между такими суждениями обычно иллюстрируют с помощью схемы, получившей название «логический квадрат», хотя их можно и описывать (рис. 7). Вершины квадрата символизируют простые категорические суждения (А — общеутвердительное, Е — общеотрицательное, I — частноутвердительное, О — частноотрицательное), стороны и диагонали — логические отношения: между суждениями.

Рис. 7

Совместимые суждения — это такие, которые выражают одну и ту же мысль полностью или лишь в некоторой части. В зависимости от степени совпадения мысли отношения совместимости могут быть в виде эквивалентности, логического подчинения, частичного совпадения (субконтрарности).

1. Эквивалентные суждения выражают одну и ту же мысль в различной форме. Например: «Для того чтобы всегда говорить правду, требуется сила духа» и «Правдивые люди — сильные духом». Субъект здесь один, а предикаты различные по форме, но одинаковые по смыслу.

Различия между высказываниями, содержащими эквивалентные суждения, проявляются главным образом в языке. Например, такие суждения могут выражаться на различных национальных языках: «В этой стране много аэродромов» и «There are a lot of airfields in this country». Эту особенность эквивалентных суждений надо учитывать при анализе нормативно-правовых актов, имеющихся в международном праве и используемых в судебной практике в нашей стране, при переводе текста с одного языка на другой, при сравнении словесно различных утверждений в процессе дискуссии.

Следует учитывать, что отношения между простыми эквивалентными суждениями с помощью логического квадрата не иллюстрируется.

  • 2. Логическое подчинение имеет общий предикат, а понятия, выражающие субъекты двух таких суждений, находятся в отношении логического подчинения. В данном случае одно суждение будет подчиняющим, а другое — подчиненным. Среди простых суждений в таком отношении находятся общие и частные суждения одного и того же качества: «А» и «I», «Е» и «О» (это хорошо видно на схеме логического квадрата). Для них характерны следующие зависимости:
    • а) если истинно общее суждение, то частное всегда будет истинным: А —» I, Е —> О. Например, при истинности суждения «Всякое дисциплинарное отношение регулируется нормами Дисциплинарного устава Вооруженных Сил» всегда будет истинным и подчиненное ему суждение «Некоторые дисциплинарные отношения регулируются нормами Дисциплинарного устава Вооруженных Сил». При истинности суждения «Ни один эмигрант не лишается гражданства своей страны» будет истинным и суждение «Некоторые эмигранты не лишаются гражданства своей страны»;
    • б) при ложности частного суждения общее суждение также будет ложным: II —» 1А, 10 —» 1Е. Например, если неверно утверждение, что «Некоторые хищения оружия совершаются но неосторожности», то тем более будет неверным утверждение: «Всякое хищение оружия совершается но неосторожности»;
    • в) при ложности общего суждения подчиненное частное может быть как истинным, так и ложным. Например: «Все граждане России соблюдают положения Конституции РФ». Это суждение ложно, но из него следует, что подчиненное частное суждение: «Некоторые граждане России соблюдают положения Конституции РФ» может быть как истинным, так и ложным;
    • г) при истинности подчиненного частного суждения общее может быть как истинным, так и ложным. Например, из истинного суждения: «Некоторые студенты второго курса третьей группы Российской академии правосудия отличники учебы» может следовать и истинное, и ложное общее суждение: «Все студенты второго курса третьей группы Российской академии правосудия отличники учебы».

Так как отношение подчинения позволяет по истинности подчиняющего суждения определять истинность подчиненного, оно составляет основу фундаментального в науке и принудительного в деятельности юристов логического следования, регулирующего виды рассуждений и практических действий. Данное положение предупреждает от ошибок поспешного обобщения. Например, никогда нельзя делать переход от суждения: «Некоторые судьи — квалифицированные специалисты» к суждению: «Все судьи — квалифицированные специалисты». Ошибочность такого обобщения очевидна.

Одновременно переход от общего суждения к логически подчиненному ему частному суждению всегда будет давать истинное заключение.

  • 3. Частичное совпадение (субконтрарность) — отношение, в котором находятся два частных суждения — «I» и «О», имеющие одинаковые предикаты, но различающиеся по качеству. Эти суждения выражают противоположную мысль. Например: «Некоторые студенты подготовились к занятиям по логике» — I и «Некоторые студенты не подготовились к занятиям по логике» — О. Это суждения одной и той же материи. Для них характерны следующие зависимости: а) при ложности одного из них другое будет истинным: II —^ О, ТО —» I. Например, при ложности суждения: «Некоторые фрукты ядовиты» будет истинным суждение: «Некоторые фрукты не являются ядовитыми»;
  • б) при истинности одного из частных суждений, другое может быть как истинным, так и ложным: I(Ov Ю), 0(1 v II). Например, частное истинное суждение: «Некоторые свидетели дают достоверную информацию во время судебного заседания» делает неопределенным частноотрицательное суждение: «Некоторые свидетели не дают достоверную информацию во время судебного заседания». Оно может быть как истинным, так и ложным.

Данное положение логики в значительной степени дисциплинирует процесс выводов и позволяет сформулировать правило: два частных суждения могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными. Оно может являться хорошим методологическим регулятивом в судебной практике.

Несовместимыми называются суждения, которые одновременно не могут быть истинными. Различают два вида отношения несовместимости; противоположность и противоречие.

1. Противоположными называются суждения, выражающие противоположные мысли. Например: «Все люди имеют врожденные пороки» и «Ни один человек не имеет врожденных пороков».

Среди простых суждений в отношении противоположности находятся общие суждения различного качества.

Это видно из нашего примера. В первом суждении всем элементам класса приписывается определенное свойство, во втором — данное свойство отрицается у этих элементов по принципу либо все, либо ничего. Суждениям присущи следующие зависимости:

а) истинность одного из противоположных суждений обусловливает ложность другого: А —»IE, Е —»1А.

Например, истинность суждения: «Все офицеры — военнослужащие» сразу же дает ответ, что суждение: «Ни один офицер не является военнослужащим» — ложно;

  • б) при ложности одного из противоположных суждений другое остается неопределенным. Оно может быть как истинным, так и ложным. Например, при ложности суждения: «Все войны справедливы» ему противоположное: «Ни одна война не является справедливой» — тоже оказывается ложным. В то же время при ложности суждения: «Ни одна страна в мире не является субъектом международных отношений» ему противоположное: «Все страны мира являются субъектами международных отношений» — будет истинным.
  • 2. Противоречащими называются суждения, исключающие друг друга. Например: «Ни одна ЭВМ не способна мыслить» и «Некоторые ЭВМ способны мыслить». Это отношение контрадикторности.

На схеме логического квадрата видно, что в такой зависимости находятся такие пары суждений: общеутвердительное — «А» и частноотрицательное — «О»; общеотрицательное — «Е» и частноутвердительное — «I». Противоречащие суждения различаются количественной стороной и качеством.

Для противоречия характерна альтернативная несовместимость: при истинности одного из суждений другое всегда будет ложным. И, наоборот, при ложности первого суждения второе будет истинным. Поэтому иногда противоречащими суждениями называют такие, которые одновременно не могут быть ни истинными, ни ложными. Им присущи следующие зависимости:

  • а) при истинности или ложности общеутвердителыюго суждения соответственно ложным или истинным будет частноотрицательное: А
  • б) при истинности или ложности общеотрицателыюго суждения соответственно ложным или истинным будет частноутвердительное: Е II, 1Е

Из данных правил следует, что, чтобы получить суждение, отличающееся от исходного качеством истинности или ложности, его нужно подвергнуть отрицанию.

Закономерности, выражающие отношения между суждениями по истинности, имеют большое значение для судебной практики. Отчетливое представление об отношениях, в которых могут находиться суждения, позволяет логически грамотно анализировать показания свидетелей, высказывания и речи адвокатов и прокуроров, оценочные высказывания специалистов различного профиля и заключения экспертизы.

Очень часто в спорах, дискуссиях смешиваются противоречащие и противоположные суждения. Это особенно касается многих действий, которые можно классифицировать как умышленные или предпринятые без умысла. Во многих случаях их считают альтернативными. В действительности оказывается, что эти действия находятся в отношении противоположности.

Умению выделять виды суждений и разбирать их помогает глубокое знание отношений между суждениями.

Пользуясь правилами отношений между суждениями, по логическому квадрату можно получить выводное знание, обеспечив правильность мысли. Покажем это на конкретном примере. Сопоставим частноотрицательное ложное суждение: «Некоторые студенты Российской академии правосудия не есть молодые люди» — «О» со всеми остальными видами суждений, которые можно получить из него.

Из ложности частноотрицательного суждения вытекает истинность частноутвердительного суждения — «I»: «Некоторые студенты Российской академии правосудия есть молодые люди». Из истинности частноутвердителыюго суждения вытекает ложность противоречащего общеотрицательного суждения — «Е»: «Ни один студент Российской академии правосудия не есть молодой человек». Ложность этого суждения заключается в его качественной связке «не есть», поэтому и частноотрицательное суждение — «О», естественно, является ложным. Замкнулся один круг. Наконец, из ложности общеотрицательного суждения — «Е» с необходимостью, по правилам отношения противоположных суждений, следует неопределенность общеутвердительного суждения — «А»: «Все студенты Российской академии правосудия есть молодые люди».

ИСТОРИЯ ЛОГИКИ

УДК 16 (09)

Л. Г. Тоноян

История логического квадрата: связь онтологических оснований и логического следования*

В статье на основе текстологического анализа текстов античных и средневековых авторов рассмотрена история возникновения логического квадрата. Показана взаимосвязь онтологических оснований и отношения логического следования. Решается вопрос об авторстве логического квадрата как иллюстративного средства и проблема интерпретации неопределенных суждений.

Ключевые слова:логическийквадрат,логическийтреугольник

Н.А. Васильева, история возникновения квадрата оппозиций, отношение логического следования.

История свидетельствует о том, что логика как наука сформировалась в Древней Греции в процессе свободно проводимых в ее обществе споров. Первоначально логические приемы выступали как искусство ведения спора, что надолго закрепило за этим искусством название «диалектика». Лучшие образцы этого искусства представлены в диалогах Платона. Однако вклад Аристотеля оказался гораздо более значим. Созданная им наука, которую он назвал аналитика, выявила основные принципы, на которых строится не только спор, но и всякая аргументация. Это три принципа, названные в логике законами тождества, непротиворечия и исключенного третьего, действие которых наглядно выражено в логическом квадрате. Формулировка данных принципов предполагает вычленение в речи людей такой ее разновидности, которую Аристотель назвал в трактате «Об истолковании» высказывающей:

«Но не всякая речь есть высказывающая речь, а лишь та, в которой содержится истинность или ложность чего-либо; мольба, например, есть речь, но она не истинна и не ложна. Итак, прочие речи оставлены здесь без внимания, ибо рассмотрение их более подобает искусству красноречия или стихотворному искусству» .

Часто классическую, аристотелевскую логику называют двузначной. Действительно, тот, кто высказал суждение, вынужден решать главный онтологический вопрос: быть или не быть, т. е. быть его мысли истинной либо быть ложной. Двузначность логики Аристотеля и определила правила поведения ума в диалоге, в споре. Не случайно логический квадрат чаще называли в средние века квадратом оппозиций.

Левая и правая сторона квадрата противопоставляют друг другу утверждение и отрицание, верхняя и нижняя — общие суждения (высказывания) частным. Четыре вида суждений вступают в жесткие логические связи, определяющие поведение противников в беседе или споре. Но главное заключается не в поведении противников, а в том, что за каждым переходом, за каждым ответом стоит (или, наоборот, не стоит) главное логическое отношение — отношение логического следования.

Такая трактовка отношений между суждениями, предложенная Аристотелем, стала вскоре неотъемлемой частью логической культуры и определяла способы ведения дискуссий от античности до наших дней. Между тем антиномичность мысли (т. е. признание в равной мере истинными двух противоположных высказываний) тоже никогда не была новостью: мольба и поэтическая речь, о которых упоминает Аристотель, т. е. религия, мифология, поэзия всегда отличались антиномичностью. Однако в возникшей из них философии и позже в науке система знаний строилась на фундаменте двузначности суждения. Если кто и пытался выбраться за границы логического квадрата, то обращался в основном к области диалектики Платона либо мистики. Примерами могут служить рациональная мистика неоплатоников, мистическая диалектика Дионисия Ареопагита, ученое незнание Николая Кузанского и т. д. и т. п. Рамки же аристотелевской логики виделись только двузначными.

Теории трехзначной и многозначных логик появились лишь в начале XX в. Одним из первых ее предложил ровно сто лет назад русский логик Николай Александрович Васильев (1880-1940). Вместо квадрата оппозиций Н.А. Васильев предложил треугольник противоположностей. Он пишет о квадрате оппозиций следующее:

«Он зародился в уме Аристотеля для целей спора и опровержения противника, а не из логических мотивов. Для целей спора он действительно пригоден <. .> Для знания в понятиях квадрат неприменим» .

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Н.А. Васильев предложил логический треугольник в рамках самой формальной логики. Считается, что он предложил систему трехзначной логики. Вскоре Я. Лукасевич и другие логики предложили формализованные теории многозначных логик. В современной логике паранепроти-воречивые и иные неклассические логики уже заняли свое прочное место. При этом далеко не все логики готовы отказаться от принципа двузначности логики.

Итак, перед нами поставлена следующая фундаментальная проблема: является ли квадрат иллюстрацией онтологии и логики Аристотеля или же аристотелевскому пониманию соответствуют другие иллюстративные схемы, например, треугольник или шестиугольник? Мы предлагаем в нашей статье историческое рассмотрение данных наглядных средств и стоящих за ними фундаментальных логических и онтологических принципов.

Прежде всего, попробуем найти ответ на следующий вопрос: кто предложил изображение логического квадрата?

Ответ первый: Михаил Пселл

В наших справочных изданиях и в учебниках мы до сих пор находим ответ, взятый из «Логического словаря» Н.И. Кондакова: «Логический квадрат» предложен в XI в. Михаилом Пселлом . Среди многочисленных трудов Пселла имеется трактат «Синопсис», посвященный логике Аристотеля . Действительно, греческая рукопись содержит изображение логического квадрата. Но эта рукопись была издана впервые лишь в 1597 г. Авторство Пселла признал известный историк логики XIX в. Карл Прантль, который считал, что «Суммулы» Петра Испанского — учебник по логике, получивший самое широкое распространение в Европе — есть перевод на латынь «Синопсиса» Пселла. Но историк XX в. Мартин Грабманн считает, что, наоборот, «Синопсис» — перевод на греческий учебника Петра Испанского. Спор этот продолжается до сих пор, но для нас важно то, что «Синопсис» повторяет идущее, по крайней мере, от Боэция изложение логики, т. е. последовательный комментарий «Категорий» Аристотеля, «Введения» Порфирия, трактата Аристотеля «Об истолковании» и т. д. Имеется в «Синопсисе» и ссылка на Боэция, а также цитаты из его трактатов. Это заставляет нас уйти в глубь истории сразу на целых пять веков.

Ответ второй: Северин Боэций

На вопрос, встречается ли в трудах Боэция (480-525) логический квадрат, ответить нетрудно. В 64 томе «Патрологии» Миня на страницах логических трактатов Боэция можно не в одном месте найти изображение логического квадрата и его подробнейший разбор. Прежде всего, укажем на 321 страницу указанного издания «Комментария на трактат Аристотеля «Об истолковании”» . То, что рисунок помещен в комментарии к тексту 7-й главы аристотелевского трактата «Об истолковании», ясно свидетельствует о том, что происхождение логического квадрата связано именно с этим отрывком трактата Аристотеля. Такой же квадрат мы встречаем в другой работе Боэция — «Введение в категорические силлогизмы» . Этот трактат переведен с латыни на русский язык, поэтому каждый может увидеть изображение логического квадрата и подробнейший его разбор. Боэций делит суждения (высказывания) на виды соответственно их качеству и количеству и их отношениям в логиче-

ском квадрате. По количеству он выделяет четыре вида высказываний: 1) универсальные — утвердительные ^Агта^ае) с кванторным словом «любой» и отрицательные (negativae) со словом «никакой»; 2) частные со словом «некий»; 3) неопределенные (^ейпкае) без кванторных слов (человек есть мудрый, человек не есть мудрый); 4) единичные ^^и1агш) -относительно чего-то единичного и относительно индивида, например, Сократ есть мудрый, Сократ не есть мудрый. Далее от всех этих высказываний отделяются неопределенные и единичные, а для оставшихся универсальных и частных подробнейшим образом формулируются все отношения логического квадрата, включая противоречие и подчинение.

Универсальное утверждениеУниверсальное отрицание

Любой человек есть справедливыйНикакой человек не есть справедливый

Частное утверждениеЧастное отрицание

Некий человек есть справедливыйНекий человек не есть справедливый

Но, рассмотрев отдельно отношения логического квадрата для общих и частных суждений, Боэций возвращается к неопределенным и единичным высказываниям. Разобрав тщательно связи неопределенных высказываний с универсальными и частными, он приходит к выводу, что «неопределенные обладают той же природой, что и частная «. Что касается единичных, то они не схожи ни с одним из четырех видов, ибо если предыдущие три (универсальное, частное и неопределенное) допускали различие в количестве, то эти «высказывают нечто одно, единично и индивидуально и различия в количестве иметь не могут». Если нет многозначности терминов, то между утверждением и отрицанием в таких суждениях (Сократ есть лысый, Сократ не есть лысый) имеет место отношение противоречия.

Из вышеизложенного мы можем сделать следующие выводы. Классификация Боэция не совсем совпадает с аристотелевской — ни в каком месте у Аристотеля мы не встречаем деление простых суждений именно на указанные четыре вида. Во-первых, Боэций выбирает у Аристотеля не выражение «А присуще всем/некоторым Б», а выражение «каждый/некий S есть P». Во-вторых, отбрасывает сначала единичные и неопределенные суждения и только после этого излагает отношения оставшихся видов суждений в логическом квадрате. Эти шаги, собственно, и позволяют Боэцию предложить классический логический квадрат, который благодаря необыкновенному методическому таланту Боэция разработан им здесь в совершенстве. Сказать, что именно такой логический квадрат предполагался у Аристотеля в седьмой главе трактата «Об истолковании», было бы, мы полагаем, натяжкой. То, как Боэций анализирует квадрат, наводит на мысль, что такое рассмотрение отношений между суждениями было не ново для него. Не стоит ли обратиться к более ранним источникам?

Ответ третий: Марциан Капелла

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Действительно, взяв в руки широко известный в средние века трактат Марциана Капеллы «О браке Филологии и Меркурия», написанный примерно в 470 г. н. э., мы без особого труда обнаружим там изображение квадрата .

Отличие от квадрата Боэция имеется здесь только в терминах: Мар-циан употребляет для утвердительных и отрицательных суждений термины dedicativa и abdicativa, в то время как Боэций ввел новые термины affirmativa и negativa, надолго закрепившиеся в логике. Часть «Диалектика» трактата Марциана представляет собой компендиум, свод имевшихся в то время логических рукописей, поэтому имеет смысл обратиться к еще более раннему периоду.

Ответ четвертый: Апулей

Сохранился один из первых трактатов об аристотелевском «Об истолковании» на латинском языке и принадлежит он, по всей видимости, известному автору II в. н. э. Апулею . В последнем издании этой работы на 195 странице мы встречаем разбор «квадратной формулы» (quadrata formula) с употреблением именно тех терминов, которые встретили у Марциана Капеллы. Следует, правда, отметить, что у последнего добавлено отношение подчинения, что указывает на дальнейшее усовершенствование квадрата после Апулея. У Апулея схема лишена боковых линий, т. е. он дает разбор только тех отношений, которые намечены в 7-й главе трактата Аристотеля «Об истолковании». Апулей делит предикативные высказывания по: 1) количеству: общие (universales) — «Все дышащие живут», частные (particulares) — «Некоторые живые существа не дышат», неопределенные (indefinitae) — «Живое существо дышит»; 2) качеству: утвердительные (dedicativae) — «Добродетель —

благо», отрицательные (аЬёюа^ае) — «Удовольствие не благо» . Термины, обозначающие отношения между высказываниями, не носят у Апулея привычного для нас логического смысла. Верхняя линия соотносит в утверждении и в отрицании общие высказывания. Они incongruae. Это слово можно перевести как неследующие. О них говорится, что они никогда не бывают вместе истинными. Нижняя линия соотносит частные утвердительное и отрицательное высказывания, они 8пЬраге8 — почти равные. По диагонали — высказывания, которые находятся между собой в отношении аЫегШте — какое-либо из двух. Отношение подчинения Апулей не анализирует; оно, собственно, не отмечено отдельно в 7-й главе трактата «Об истолковании» и Аристотелем.

Можно предположить, что и Апулей взял «квадратную формулу» из работ своих предшественников, например, перипатетиков или неоплатоников. Но об этом пока мы не нашли никаких данных. Зато с большой долей уверенности можно сказать, что Марциан Капелла, изображая в своих трактатах логический квадрат, использовал работу Апулея. Как можно было заметить, Марциан использует для утверждения и отрицания термины Апулея dedicativa и abdicativa.

Таким образом, обращение к источникам позволило нам приблизить указанное мнемоническое средство к логике Аристотеля почти на 10 веков. Отмечен ли в исторических исследованиях этот факт? Да, причем неоднократно. Например, в историческом исследовании И. Бохенского читаем: «Другое уточнение аристотелевской силлогистики мы находим в форме известного логического квадрата. Эту фигуру мы встречаем в первый раз у Апулея» . Вспоминает Апулея в связи с квадратом и Н.А. Васильев.

Отмечен этот факт и нашим историком Н.И. Кондаковым, правда, не в русском, а в немецком, более позднем, издании его словаря . Отчего же все-таки возникло и так упорно держится мнение о Михаиле Пселле как «изобретателе» логического квадрата?

Ответ пятый: Шервуд

Приведенный исторический обзор не позволяет считать Михаила Пселла автором логического квадрата и оставляет открытым вопрос об авторстве «Синопсиса». Мнение же К. Прантля можно объяснить тем, что именно в XI-XШ вв. более всего увлекались изобретением различных мнемонических средств. Среди тех, кто уделял специальное внимание дальнейшей разработке логико-мнемонических средств, в том числе логического квадрата, в первую очередь следует назвать Вильяма Шервуда (ум. в 1249 г.). Его «Суммулы» изданы Мартином Грабманном в 1937 г. . В сочинении Шервуда к квадрату оппозиций добавляются различные толкования, а рассмотрение единичных суждений превращает квадрат в шестиугольник. Наши исторические изыскания показали, что указать определенно автора изображения логического квадрата пока не

представляется возможным. На данный момент можно, солидаризируясь с И. Бохеньским и другими историками логики, считать, что изображение квадрата впервые появилось у Апулея. И хотя он не проанализировал, подобно Боэцию, все отношения логического квадрата, главным является тот факт, что квадрат возник в процессе комментирования трактата Аристотеля «Об истолковании».

Ответ шестой: Аристотель

Отвечая на вопрос, кому принадлежит открытие отношений логического квадрата, мы можем по существу дела ответить, что это — несомненная заслуга Аристотеля. Но самого квадрата у Аристотеля нет. Читая текст, порой кажется, что Аристотель мысленно представлял себе квадрат, но это остается лишь нашим предположением. Посмотрим, обратясь к текстам Аристотеля, какие есть основания для нашего предположения.

Первый вопрос, который возникает в связи с логическим квадратом, состоит в том, встречается ли у Аристотеля деление суждений на четыре вида, как это имеет место в традиционной логике, а именно: А (общеутвердительное), Е (общеотрицательное), I (частноутвердительное), О (частноотрицательное)? Если оно не встречается, то и о логическом квадрате не может идти речи.

а)Деление простых суждений в трактате «Первая Аналитика»

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Прежде всего, мы находим деление суждений на виды в начале «Первой Аналитики»:

«Посылка есть речь, утверждающая или отрицающая что-то относительно чего-то. Она бывает или общей, или частной, или неопределенной. Общей я называю о присущем всем или не присущем ни одному, частной — о присущем или не присущем некоторым или присущем не всем, неопределенной — о присущем или не присущем без указания того, общая она или частная, как, например, противоположности изучаются одной и той же наукой или удовольствие не есть благо» .

В следующей, второй, главе, в которой вводится различие посылок и по модальности, это деление еще раз повторяется:

«Всякая же посылка есть посылка или о том, что присуще, или о том, что необходимо присуще, или о том, что возможно присуще; и из них в соответствии с каждым способом сказывания (pгosгesis — смотря по тому, что прибавлено) одни утвердительные, другие — отрицательные; и далее, из утвердительных и отрицательных одни — общие, другие — частные, третьи — неопределенные» .

И в том, и в другом отрывке наряду с частными упоминаются неопределенные посылки, т. е. посылки без кванторных слов. То есть речь идет о неопределенности количества субъекта суждения. К каким суждениям следует относить неопределенные суждения — к общим или к част-

ным? Аристотель приравнивает их к частным. Таким образом, частная посылка будет теперь подразделяться на: 1) определенно-частную (только некоторые S)^; 2) неопределенно-частную (некоторые, а, возможно, и все). Но неопределенность может относиться и к качеству суждения: £ возможно есть Р, а возможно, не есть Р. Тогда она может рассматриваться как модальная посылка.

«В другом смысле «быть возможным” означает нечто неопределенное, то, что может быть и так, и не так, например, что живое существо ходит или что в то же время, как оно идет, происходит землетрясение, и вообще все происходящее случайно. Ведь по природе все это может так происходить не в большей мере, чем наоборот» .

Таким образом, неопределенность суждения по количеству субъекта ведет к неопределенности суждения по качеству связки и превращает категорическое суждение в модальное.

б)Деление простых суждений в трактате Аристотеля «Об истолковании» несколько иное, чем в «Первой Аналитике»:

«Так как одни предметы общие, а другие — единичные (общим я называю то, что может по природе может сказываться о многом, а единичным — то, что не может этого; например, «человек” есть общее, а Калий — единичное), то необходимо высказывать, присуще или не присуще что-то чему-то как общему или как единичному. Поэтому если об общем высказываются как об общем, что ему нечто присуще или не присуще, то эти высказывания будут противоположными друг другу. Г оворя «высказываться об общем как об общем” я разумею, например, «каждый человек бледен — ни один человек не бледен”. Когда же высказываются об общем, но не как об общем, такие высказывания не противоположны друг другу, хотя выраженное в них иногда может быть противоположным. Говоря «высказываться об общем не как об общем”, я разумею, например, «человек бел -человек не бел”; в самом деле, хотя «человек” есть нечто общее, но в высказывании он не рассматривается как общее, ибо «каждый” означает не общее, а то, что о чем-то высказываются как об общем» .

По сути, мы видим деление простых высказываний на общие, не общие (неопределенные) и единичные. Подлежащее может быть общим или единичным. Сказуемое может быть высказано о подлежащем либо как об общем (каждый человек бледен,) либо как о единичном (Сократ бледен). Но когда сказуемое относится не ко всем предметам подлежащего, то слово «каждый» пропускается (человек бел), и это суждение уже не будет общим («об общем не как об общем», частными Аристотель здесь их не называет).

Далее в той же главе Аристотель каждый вид суждения противопоставляет его отрицанию и различает противопоставление контрарное (для общих и единичных суждений) и контрадикторное (для общих и не об-

тих), а также субконтрарное (для необщих) отношение. Казалось бы, в этой главе рассмотрены все отношения логического квадрата (кроме подчинения), и сам квадрат как бы незримо (виртуально) присутствует в тексте. Но не будем спешить с выводами. И добавим, кстати, по поводу отношения подчинения то, что в других местах текста Аристотеля оно рассматривается, и притом не раз: если присуще всем, то присуще и некоторым.

Здесь же, в знаменитой 9-й главе трактата «Об истолковании» Аристотель, говоря о будущих, т. е. возможных, событиях, отмечает, что существуют такие предложения, которые в настоящий момент еще не являются ни истинными, ни ложными (завтра произойдет морское сражение). Значит, для таких предложений введенный Аристотелем для суждений принцип двузначности не имеет места. Тогда их можно рассматривать как предложения, имеющие некое третье значение наряду с истинностью и ложностью, и этим значением становится неопределенность.

Мы уделили такое внимание трактовке неопределенных суждений потому, что именно это явилось причиной пересмотра традиционной аристотелевской логики. Н.А. Васильев создает свою воображаемую (неаристотелеву) логику и, дав свою трактовку неопределенных суждений, превращает тем самым логический квадрат в логический треугольник.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Логический квадрат или логический треугольник?

Н.А. Васильев выступает против приравнивания неопределенных суждений Аристотеля к частным и считает, что, начиная с Боэция (или его предшественников), квадрат отличается от предполагаемого в трактате «Об истолковании» квадрата Аристотеля. Н.А. Васильев пишет: «Как неизменное следствие различения 4 видов суждений А, Е, I и О, во всех логиках, начиная с Аристотеля, фигурирует так называемый квадрат противоположностей, обычно представляемый диаграмматически. Схема, которую хотел дать Аристотель (Об истолковании, 10), должна была иметь такую форму:

<…> Начиная с Боэция (впрочем, с некоторыми различиями в терминологии та же схема встречается у Апулея), употребляется другая схема» . И далее приводится привычная для нас схема. Н.А. Васильев считает, что неправильно ставить неопределенное предложение («некоторые, а может быть, все S есть P») на один уровень с общими и частными суждениями, поскольку оно выражает наше колебание между общим и частным суждениями. Неопределенные суждения надо, по его мнению, отнести к проблематическим, так как они сразу высказывают две гипотезы. Например, предложение «люди справедливы» дает две гипотезы: «некоторые, но не все люди справедливы» и «некоторые, а может быть и все люди справедливы». Логический квадрат выражает отношения между общими и неопределенными суждениями. Частное же суждение, считает Н.В. Васильев, и в обыденной жизни, и в науке употребляют в другом, притом однозначном смысле: «некоторые, но не все S есть P» — «некоторые люди (не все) справедливы». Если принять только такую формулу частных суждений («(только) некоторые S суть Р»), то следует согласиться с Н.А. Васильевым, что часть отношений логического квадрата не имеет места. Вместо аристотелевско-боэциевской классификации суждений Н.А. Васильев предлагает другое деление для суждений: на суждения о факте и суждения о понятиях. Суждения о факте всегда подразумевают определенный момент времени и место в пространстве, субъектом в них является эмпирический факт. «Лампа горит» — эта конкретная лампа здесь и сейчас горит. К ним применим закон исключенного третьего и логический квадрат. Суждения о понятии — это правила, они сохраняют свою силу в любое время в любом месте, субъектом в суждении о понятии выступает класс или общее понятие. «Человек может падать» высказывается о классе людей и выполняется в разное время и в разных местах. Суждения о понятии делятся на три вида: «Или S постоянно имеет предикат Р — (А) общеутвердительное. Или S постоянно не имеет предиката Р — (Е) общеотрицательное. Или S имеет предикат Р, как accidens — (М), так называемое частное суждение. Каждая возможность исключает две остальные; если ложны, если отпадают две какие-нибудь возможности, то необходимо истинна третья. Четвертой возможности не может быть. Это и есть закон исключенного четвертого, так как обычный логический закон исключенного третьего верен только для фактических суждений и неверен для суждений о понятии» .

с он ^ г аг\а

» щ

Теперь вернемся к Боэцию и обратим внимание на то, что Боэций в трактате «Введение в категорические силлогизмы» классифицирует предикаты по их отношению к субъекту следующим образом: (1) тот предикат, который всегда присущ субъекту, (2) тот, который никогда не присущ субъекту, (3) тот, который иногда присущ субъекту, а иногда не присущ. Примером первого случая может быть животное по отношению к человеку, примером второго — камень по отношению к человеку, примером третьего — справедливость по отношению к человеку. Нетрудно увидеть здесь то тройное делений суждений о понятии, которое мы выше рассмотрели у Н.А. Васильева. Если рассматривать отношения между суждениями, учитывая только разную «степень» присущности предиката субъекту, то видов суждений будет не четыре, а три (I = О). Между этими тремя суждениями возникают только отношения противоположности, что можно отобразить логическим треугольником .

Как видим, не только квадрат оппозиций, но и треугольник противоположностей реконструируются из текстов Аристотеля и Боэция. Онтологические основания логики Аристотеля, на которых и базируется отношение логического следования, продолжают оставаться фундаментом всех логических систем.

Список литературы

1.Аристотель. Соч.: в 4 т. Т. 2. — М.: Наука, 1978.

2.Боэций С.Т.М. Введение в категорические силлогизмы // Вопр. философии. — 1999. -№ 1. — С. 136-144.

3.Васильев Н.А. Воображаемая логика. — М., 1989.

4.Васильев Н.А. О частных суждениях. URL: http://amkob113.narod.ru/vlog/nvs-1-5.html (6.11.2011).

5.Кондаков Н.И. Логический словарь. — М., 1971.

6.Тоноян Л.Г. Неопределенные суждения в логике: трактовки Аристотеля, Боэция и Николая Кузанского (Н.А. Васильева) // Тр. Математ. центра им. Н.И. Лобачевского. Т. 41. Воображаемая логика Н.А. Васильева и совре-

менные неклассические логики: материалы междунар. конф. — Казань, 2010. -С. 38-41.URL:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(6.11.2011).

7.Apuleius. De philosophia libri. /Ed.M. Moreschini. Stvtgardiae et Lip-siae.1991. Peri ermeneias. Col.189 -215.

8.Bochenski I.M. Formale Logik. — Freiburg-Muenchen,1956.

9.Boethius S. In Librum Aristotelis De Ihterpretatione http://www. documentacatholicaomnia. eu/02m/0480-

0524,_Boethius._Severinus,_In_Librum_Aristotelis_De_Interpretatione_Libri_Duo, _MLT.pdf (6.11.2011).

10.Ehinger El.(Ed.) Synopsis organi Aristotelis Michaele Psello auctore.,

12.Kondakov N.I. Woerterbuch der Logik. — Leipzig, 1983.

2.9. Логический квадрат

Отношения между простыми сравнимыми суждениями изображаются схематически с помощью логического квадрата, который был разработан еще средневековыми логиками.

Как видим, вершины квадрата обозначают четыре вида простых суждений, а его стороны и диагонали – отношения между ними. Так суждения вида А и вида I, а также суждения вида Е и вида О находятся в отношении подчинения. Суждения вида А и вида Е находятся в отношении противоположности, а суждения вида I и вида О – частичного совпадения. Суждения вида А и вида О, а также суждения вида Е и вида I находятся в отношении противоречия. Неудивительно, что логический квадрат не изображает отношение равнозначности, потому что в этом отношении находятся одинаковые по виду суждения, т. е. равнозначность – это отношение между суждениями А и А, I и I, Е и Е, О и О. Чтобы установить отношение между двумя суждениями, достаточно определить, к какому виду относится каждое из них. Например, надо выяснить, в каком отношении находятся суждения: Все люди изучали логику и Некоторые люди не изучали логику. Видя, что первое суждение является общеутвердительным (А), а второе частноотрицательным (О), мы без труда устанавливаем отношение между ними с помощью логического квадрата – противоречие. Также суждения: Все люди изучали логику (А) и Некоторые люди изучали логику (I) находятся в отношении подчинения, а суждения: Все люди изучали логику (А) и Все люди не изучали логику (Е) находятся в отношении противоположности.

Как уже говорилось, важным свойством суждений, в отличие от понятий, является то, что они могут быть истинными или ложными. Что касается сравнимых суждений, о которых идет речь в данном параграфе, то истинностные значения каждого из них определенным образом связаны с истинностными значениями остальных. Так если суждение вида А является истинным или ложным, то три других (I, Е, О) сравнимых с ним суждения (т. е. имеющих сходные с ним субъекты и предикаты) в зависимости от этого (т. е. от истинности или ложности суждения вида А) тоже являются истинными или ложными. Например, если суждение вида А: Все тигры – это хищники является истинным, то суждение вида I: Некоторые тигры – это хищники также является истинным (если все тигры – хищники, то и часть из них, т. е. некоторые тигры – это тоже хищники), суждение вида Е: Все тигры – это не хищники является ложным, и суждение вида О: Некоторые тигры – это не хищники также является ложным. Таким образом, в данном случае из истинности суждения вида А вытекает истинность суждения вида I и ложность суждений вида Е и вида О (разумеется, речь идет о сравнимых суждениях, т. е. имеющих одинаковые субъекты и предикаты).

Далее представлены все случаи отношений между истинностными значениями простых сравнимых суждений.

1. Если суждение вида А является истинным, то суждение вида I также является истинным, а суждения вида Е и О являются ложными.

2. Если суждение вида А является ложным, то суждение вида I является неопределенным по истинности (т. е. может быть как истинным, так и ложным, в зависимости от того, о чем будет идти в нем речь), суждение вида Е является также неопределенным по истинности, а суждение вида О является истинным. (Далее будем применять сокращения, например, вместо выражения «суждение вида А» будем говорить «А», а вместо «является истинным» – просто «истинно»).

3. Если Е истинно, то А ложно, I ложно, О истинно.

4. Если Е ложно, то А неопределенно по истинности, I истинно, О неопределенно по истинности.

5. Если I истинно, то А неопределенно по истинности, Е ложно, О неопределенно по истинности.

6. Если I ложно, то А ложно, Е истинно, О истинно.

7. Если О истинно, то А ложно, Е неопределенно по истинности, I неопределенно по истинности.

8. Если О ложно, то А истинно, Е ложно, I истинно.

Используя рассмотренные правила, можно делать выводы об истинности простых сравнимых суждений с помощью логического квадрата (или, как часто говорят в логике, – по логическому квадрату). Выше был приведен пример таких выводов на основе суждения вида А: Все тигры являются хищниками, где из его истинности вытекали определенные истинностные значения других суждений – I, Е, О. Рассмотрим еще один пример. Возьмем суждение вида Е: Все треугольники не являются квадратами и сделаем из его истинности выводы об истинностных значениях суждений А, I, О. Когда данное суждение вида Е истинно (см. правила выше), то суждение вида А: Все треугольники являются квадратами ложно, суждение вида I: Некоторые треугольники являются квадратами также ложно, а суждение вида О: Некоторые треугольники не являются квадратами истинно (если все треугольники не являются квадратами, то и часть треугольников, т. е. некоторые треугольники также не являются ими).

Данный текст является ознакомительным фрагментом.

Продолжение на Litres.ru

Некоторые отношения между четырьмя видами категорических вы сказываний графически представляются так называемым логичес ким квадратом.

Рис. 9

Рис. 8

Противоречащие высказывания (SaP и SoP; SeP a SiP) не могут быть одновременно истинными и ложными; если одно из них истинно, то другое ложно.

Например: 1. Если высказывание «Все киты дышат легкими» истинно, то высказывание «Некоторые киты не дышат легкими» ложно. 2. Если высказывание «Некоторые медведи — не бурые» истинно, то высказывание «Все медведи — бурые» ложно.

Противные высказывания (SaP и SeP) в отличие от противоречащих могут вместе быть ложными, но не могут быть вместе истинными.

Например: 1. Высказывания «Все спортсмены — гроссмейстеры» и «Ни один спортсмен не гроссмейстер» оба ложны. 2. Поскольку высказывание «У всех людей есть головы» истинно, то высказывание «Ни у одного человека нет головы» ложно. 3. Если высказывание «Все металлы не являются газами» истинно, то высказывание «Все металлы — газы» ложно.

Подпротивные высказывания (SiP и SoP) не могут быть одновременно ложными, но могут быть одновременно истинными.

Например: 1. Если высказывание «Некоторые овцы — хищники» ложно, то высказывание «(По меньшей мере) некоторые овцы не являются хищниками» истинно. 2. Высказывания «Некоторые спортсмены — футболисты» и «Некоторые спортсмены не футболисты» оба истинны.

В отношении подчинения находятся попарно высказывания SaP и SiP, SeP и SoP. Из подчиняющего высказывания логически следует подчиненное: из SaP вытекает SiP и из SeP вытекает SoP. Это означает, что из истинности подчиняющего высказывания логически следует истинность подчиненного, а из ложности подчиненного следует ложность подчиняющего.

Например: 1. Из высказывания «Все киты являются млекопитающими» следует высказывание «Некоторые киты млекопитающие». 2. Из высказывания «Все металлы не являются сжимаемыми» следует высказывание «Некоторые металлы несжимаемы».

Еще раз подчеркнем, что противоречат друг другу высказывания «Все Sесть Р» и «Некоторые S не есть Р» и высказывания «Все 5 не есть Р» и «Некоторые 5 есть Р». Нс противоречат друг другу высказывания «Все S есть Р» и «Все S не есть Р», а также высказывания «Некоторые S есть Р» и «Некоторые S не есть Р».

Логические связи категорических высказываний, представляемые логическим квадратом, можно представить также в форме непосредственных умозаключений, т.е. умозаключений из одной посылки.

Противоречат друг другу высказывания «Все 5 есть Р» и «Некоторые S не есть Р», а также высказывания «Все S не есть Р» и «Некоторые 5 есть Р». Это означает, что являются правильными следующие, в часности, непосредственные умозаключения:

Все 5 есть Р.

11еверно, что некоторые S не есть Р.

Например: из высказывания «Все совы — птицы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые совы не являются птицами».

11екоторыс S не есть Р.

Неверно, что все S есть Р.

Например: из высказывания «Некоторые ученые не химики» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все ученые химики».

Все 5 не есть Р.

Неверно, что некоторые S есть Р.

Например: из высказывания «Все киты не рыбы» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что некоторые киты — рыбы».

Некоторые S есть Р.

Неверно, что все 5 не есть Р.

Например: из высказывания «Некоторые жидкости упруги» непосредственно следует высказывание «Неверно, что все жидкости неупруги».

Противные высказывания (SaP и SeP) не могут быть вместе истинными.

Все S есть Р.

Неверно, что все 5 не есть Р.

Например: из высказывания «Все летающие имеют крылья» непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все летающие не имеют крыльев».

Все S не есть Р.

Неверно, что все 5 есть Р.

Например: из высказывания «Все категорические высказывания нс являются условными»непосредственно вытекает высказывание «Неверно, что все категорические высказывания — условные».

Из подчиняющего высказывания логически следует подчиненное:

Все S есть Р.

Некоторые S есть Р.

Например: из высказывания «Все люди дышат легкими» непосредственно вытекает высказывание «(По меньшей мере) некоторые люди дышат легкими».

Все S не есть Р.

Некоторые S не есть Р.

Например: из высказывания «Все тигры не птицы» непосредственно вытекает высказывание «Некоторые тигры не птицы».