Почему дважды два пять?

«Это ясно, как дважды два — четыре»,— говорим мы про очень понятные нам вещи. Но всегда ли дважды два равно четырем? Ведь все истины верны только при определенных условиях.

Представим себе, что древние люди, у которых счет был пятеричным, захотели бы записывать свои числа. Число «семь» они называли «рука и два пальца другой руки». И пришлось бы им для обозначения первой руки поставить палочку (как мы это делаем для обозначения двух рук, то есть числа «десять»), а потом цифру для обозначения еще двух пальцев на второй руке. Не будем гадать, какие цифры придумали бы они, а по-нашему получилась бы запись 12. Только читали бы они эту запись не «двенадцать» (то есть два на десять), а «две-на-пять». А число «восемь» они назвали бы «три-на-пять» и записали бы его 13, десять — «два-на-пять» и обозначили бы его 20.

А когда они дошли бы до числа, которое мы называем «двадцать пять», им пришлось бы придумать совсем новое слово. Ведь это число будет уже единицей третьего разряда (в пятеричной арифметике каждая единица следующего раз¬ряда равна пяти, а не десяти единицам предыдущего разряда). Давайте поможем им и дадим этому числу название «шатам» (так называли сто на санскрите — литературном языке древней и средневековой Индии). Обозначать это число пришлось бы так: 100 (одна единица третьего разряда и ни одной ни второго, ни первого). Что же означала бы у них запись 234?

Ясно, что: две единицы третьего разряда, то есть два раза по двадцать пять, три единицы второго разряда, то есть три раза по пять, и еще четыре единицы первого разряда. Всего получи¬лось бы 2-25+3-5+4, то есть 69. А что значила бы в такой арифметике запись 38? Да ничего она не значила бы. Ведь в этой арифметике участвуют только пять цифр: 0, 1, 2, 3, 4. А 5 — это уже полная рука и обозначается 10. Так что цифры 5, 6, 7, 8 и 9 в этой арифметике просто не нужны.

Но мы уже знаем, что числа нужно не только записывать. Над ними надо еще производить арифметические действия. Займемся и мы этим в пятеричной арифметике. Сумма 2+1 будет иметь то же значение, что и в обычной арифметике, то есть 3. И 2 + 2 будет 4. А вот результат сложения 2+3 примет иной вид. Ведь это же число 5, а оно в «новой» арифметике пишется 10! Так что пришлось бы древним людям заучивать, что 2 + 3 = 10 (произносили бы они это, как и мы: два плюс три равно пяти). А вот сумму 3 + 3 им пришлось бы и записывать по-другому, и читать иначе. Записали бы они ее так: 3 + 3= 11, а прочли бы так: «три плюс три равно один-на-пяти».

Получаем таблицу сложения для этой арифметики.

Другой стала бы и таблица умножения. Например, вместо 3-3 = 9 в ней писали бы 3-3 = 14 и читали бы: «трижды три равно четыре-на-пяти». А запись 4-4=31 читали бы: «четырежды четыре равно три-пять одному». Запись 10-10=100 означала бы, что 5-5= 25, а читали бы: «пятью пять равно шатам».

X

0

1

2

3

4

0

0

0

0

0

0

1 0

1

2

3

4

2

0

2

4

11

13

3

0

3

11

14

22

4

о

4

13

22

31

Таким образом, столь привычные нам таблицы сложения и умножения, а с ними и вся наша арифметика основаны на том, что когда-то далекие предки выбрали десятичную систему счета. А будь у людей лишь по три пальца на каждой руке, система счета оказалась бы шестеричной и таблицы сложения и умножения приняли бы иной вид (составьте их сами).

Теперь мы можем ответить и на вопрос: всегда ли дважды два равно четырем? Это будет так во всех системах счета, кроме двоичной и троичной. В двоичной системе число «два» записывается так: 10; число «три» пришлось бы назвать «один-на-два» и записать так: 11, а число «четыре» обозначается 100 и тоже должно получить особое название (скажем, «фир», как называют его немцы). А в троичной системе число «три» обозначается 10, а число «четыре» обозначается 11, и тогда оно должно получить название «одиннатри». Поэтому, будь у нас троичная система счисления, заучивали бы школьники, что «дважды два — одиннатри» и писали бы в тетрадях:

2-2 = 11.

Но легче всего было бы изучать арифметику в двоичной системе. Ведь для счета нужны только две цифры: 1 и 0 (именно

поэтому ее называют двоичной), а таблицы сложения и умножения здесь самые короткие.

Достаточно запомнить, что одиножды один — один, и можно считать, что вся арифметика выучена. Записи действий в этой арифметике очень простые. Приведем пример сложения в этой системе:

i 110011

11011

1001110

Такая арифметика оказалась полезной, когда стали создавать электронные вычислительные машины. Теперь понятно, по¬чему это так. Ведь имеющиеся в этой системе две цифры легко зашифровать: скажем, цифра 0 означает «ток не проходит», а цифра 1 означает «ток проходит». Действия над числами сводятся к включению и выключению тока.

Удвоение числа, записанного по двоичной системе счисления, производится очень просто: к нему справа приписывают цифру нуль. А умножение на любое число современная ЭВМ делает так же, как это делал Ахмес тысячи лет тому назад: сводит любое умножение к удвоению и сложению.

Ниже приведены таблицы сложения и умножения чисел в восьмеричной системе. Проверьте, правильно ли они составлены.

X 0 1 2 3 4 5 6 7

1 0 1 2 3 4 5 6 7

2 0 2 4 6 10 12 14 16

3 0 3 6 11 14 17 22 25

4 0 4 10 14 20 24 30 34

5 0 5 12 17 24 31 36 43

6 0 6 14 22 30 36 44 52

7 0 7 16 25 34 43 52 61

Перевод 6 двоичнуюсистему

Вдесятичной системе

000000

000001

0000100

000110

001000

00101

0

1

2

3

4

5

Дважды два — четыре текст

Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
Это всем известно в целом мире.
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не три, а не пять, это надо знать!
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь, это ясно всем!

Трижды три — навеки девять…
Девять…
Ничего тут не поделать…
Делать…
И не трудно сосчитать,
Сколько будет пятью пять.
Пятью пять — двадцать пять!
Пятью пять — двадцать пять!
Совершенно верно!

Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
Это всем известно в целом мире.
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не три, а не пять, это надо знать!
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь, это ясно всем!

У кого, друзья, ни спросим…
Спросим…
Шестью восемь — сорок восемь…
Восемь…
Шестью шесть, прошу учесть,
Неизменно тридцать шесть.
Шестью шесть — тридцать шесть!
Шестью шесть — тридцать шесть!
Совершенно верно!

Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
Это всем известно в целом мире.
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не три, а не пять, это надо знать!
Дважды два – четыре, дважды два – четыре,
А не шесть, а не семь, это ясно всем!

«Первое и самое важное — он был логиком. По крайней мере, тридцать пять лет из примерно полувека его существования были посвящены исключительно доказательству, что два плюс два всегда равно четырем, за исключением необычных случаев, когда получается три или пять, в зависимости от обстоятельств.” (Жак Футрель, «Проблема 13-й камеры”).

Большинство математиков знакомы с тождеством 2+2=4, или, по крайней мере, видели на него ссылки в литературе. Однако менее известное равенство 2 + 2 = 5 также имеет богатую, сложную историю. Как и любые другие комплексные, сложные количества, эта история имеет реальную и мнимую части. Здесь мы будем иметь дело исключительно с последней.

Многие культуры во время своего раннего математического развития открыли равенство 2 + 2 = 5. Возьмем, например, племя болб, произошедшее от инков Южной Америки. Люди этого племени считали, завязывая узлы на веревке. Они быстро поняли, что если связать веревку с двумя узлами с другой веревкой с двумя узлами, то в результате получится веревка с пятью узлами.

Последние данные показывают, что в Братстве пифагорейцев доказали, что 2 + 2 = 5, но доказательство это никогда не было написано. Вопреки тому, что можно было бы ожидать, отсутствие письменного доказательства не было вызвано умышленным сокрытием (таким же, как в случае доказательства иррациональности квадратного корня из двух). Скорее всего, они просто не имели возможности заплатить писцу за его услуги. Они потеряли спонсорскую поддержку в связи с протестами правозащитника, защищавшего права быков, возражавшего против способа, которым пифагорейцы отмечали доказательство теорем. Таким образом, только равенство 2 + 2 = 4 было использовано в «Началах” Евклида, и ничего больше не было слышно о равенстве 2 + 2 = 5 в течение нескольких столетий.

Около 1200 н.э. Леонардо из Пизы (Фибоначчи) обнаружил, что через несколько недель после помещения 2 кроликов-самцов и 2 кроликов-самок в одну клетку он получил значительно больше 4 кроликов. Опасаясь, что слишком сильное отличие от значения 4, приведенного у Евклида встретит возражения, Леонардо осторожно заявил: «2 + 2 больше похоже на 5, чем 4”. Даже это сдержанное замечание было резко осуждено, и Леонардо получил прозвище «Blockhead” («дубина”). Кстати, преуменьшение им числа кроликов сохранялось и дальше, в его знаменитой модели роста числа кроликов каждый помет состоит всего из двух малышей, эта самая низкая оценка из всех существующих.

Примерно 400 лет спустя идея возникла снова, на этот раз благодаря французским математикам. Декарт заявил: «Я думаю, что 2 + 2 = 5, поэтому это так и есть”. Однако другие возражали, указывая на то, что его аргументация была не абсолютно строгой. По-видимому, у Ферма было более строгое доказательство, которое должно было появиться в его книге, однако его и другие материалы вырезал редактор для того, чтобы напечатанная книга имела более широкие поля.

Поскольку не было доступного доказательства того, что 2 + 2 = 5 и в связи с шумихой, связанной с развитием дифференциального исчисления, к 1700 году математики снова потеряли интерес к данному тождеству. В самом деле, известна только ссылка 18 века на него, связанная с именем философа епископа Беркли, который, обнаружив его в старой рукописи, сухо прокомментировал: «Ну, теперь я знаю, куда уходят все умершие — в правую часть этого уравнения”. Это острота настолько впечатлила интеллектуалов Калифорнии, что они назвали в честь Беркли университетский город.

Примерно в середине 19 века 2 + 2 начало иметь большое значение. Риман разработал арифметику, в которой 2 + 2 = 5 параллельно с евклидовой арифметикой, в которой 2 + 2 = 4. Кроме того, в это же время Гаусс занимается арифметикой, в которой 2 + 2 = 3. Естественно, последовали десятилетия большой путаницы относительно фактического значения 2 + 2. Поскольку мнения на эту тему менялись, доказательство Кемпе (1880 год) теоремы о четырех цветах было признано через 11 лет, дав вместо этого теорему о пяти цветах. Дедекинд принял участие в споре со статьей под названием «Was ist und was soll 2 + 2?”.

Фреге думал, что он решил вопрос при подготовке сокращенной версии своего «Begriffsschrift”. Эта выжимка, озаглавленная «Die Kleine Begriffsschrift (Краткое сочинение)”, содержало, по его мнению, окончательное доказательство того, что 2 + 2 = 5. Но затем Фреге получил письмо от Бертрана Рассела, в котором ему напоминали, что в «Grundbeefen der Mathematik” Фреге доказал, что 2 + 2 = 4. Это противоречие так обескуражило Фреге, что он вообще отказался от математики и ушел в администрацию университета.

Столкнувшись с таким глубоким и вызывающим недоумение основополагающим вопросом о значении 2 + 2, математики поступают разумно: они просто игнорируют его. И таким образом, все вернулось к тому, что 2 + 2 = 4, и в 20-м веке ничего больше не делалось с равенством, соперничающим с данным. Ходили слухи, что Бурбаки планирует посвятить том тождеству 2 + 2 = 5 (первые сорок страниц посвящены символическому выражению для числа пять), но эти слухи остались неподтвержденными. Недавно, однако, были зарегистрированы доказательства того, что 2 + 2 = 5, как правило, полученные с помощью компьютера, принадлежащих муниципальным предприятиям. Может быть, 21-й век увидит еще одно возрождение этого исторического уравнения.