Закон исключенного третьего

Закон исключённого третьего — законклассической логики, состоящий в том, что из двухвысказываний «А» или «не А» одно обязательно является истинным, т.е. два противоречивых суждения не могут быть одновременно ложными, одно из них необходимо истинно. Закон исключённого третьего является одним из основополагающих принципов современной математики.

С интуиционистской (и в частности конструктивной) точки зренияустановление истинности высказывания вида «А или не А»означает установление истинности {\displaystyle A} или истинности его отрицания {\displaystyle \neg A}. Поскольку не существует общего метода, позволяющего для каждого высказывания за конечное числошагов установить его истинность или истинность его отрицания, закон исключенного третьего подвергается критике со стороныпредставителей интуиционистского и конструктивногонаправлений в основаниях математики.

Формулировка

В математической логике закон исключенного третьего выражается формулой

{\displaystyle A\vee \neg A=1,}

где {\displaystyle \vee } — знак дизъюнкции, {\displaystyle \neg } — знак отрицания.

Другие формулировки

Подобный смысл имеют другие логические законы, многие из которых сложились исторически. В часности закон двойного отрицания и закон Пирса эквивалентны закону исключённого третьего в интуиционистской логике. Это означает, что расширение системы аксиом интуиционистской логики любым из этих трёх законов в любом случае приводит к классической логике. И все же в общем случае, существуют логики, в которых все три закона неэквивалентны.

Примечания

Шаблон:Reflist

Смотри также

  • Доказательство от противного
  • Закон двойного отрицания
  • Закон Пирса

Если закон недопустимости противоречия запрещает двум несовместимым суждениям быть одновременно истинными, то встает вопрос о возможности одновременной ложности противоречащих суждений. Это отношение регулирует закон исключенного третьего. В формулировке В. Ф. Асмуса он звучит так:

«Из двух противоречащих друг другу утверждений об отношении понятий одно утверждение — и только одно — необходимо должно быть истинным, так что невозможно никакое третье истинное утверждение об отношении между этими понятиями».

Истинным будет лишь одно из двух (противоречащих друг другу) суждений, и не нужен никакой третий кандидат на истину. Еще короче, может быть сформулирован закон, что третьего не дано.

Вначале Аристотель выразился так: «Равным образом не может быть ничего посредине между двумя противоречащими суждениями, но об одном одно необходимо либо утверждать, либо отрицать» (Метафизика, ч. 4; 7, 1011 в 23).

Иногда он выражался короче: «Необходимо все либо утверждать, либо отрицать», или «Все должно или быть или не быть».

И если закон непротиворечия оставлял открытым вопрос, возможно ли нечто среднее между утверждением и отрицанием, то закон исключенного третьего эту возможность исключает. Но из закона исключенного третьего не получается исключить случай, что утверждение и отрицание могут быть одновременно истинны. Так что законы непротиворечия и исключенного третьего взаимно дополняют друг друга. Но главным является закон непротиворечия. Символическая форма записи:

A v -А = V, где V означает истину (от лат. Veritas).

В естественном языке читается: «Истинно Л или не-Л».

Область действия закона исключенного третьего меньше сферы действия закона непротиворечия. Он распространяется на отношения: между А и О (общеутвердительными и частноотрицательными), между Е и / (общеотрицательными и частноутвердительными).

Закон непротиворечия обладает более широкой сферой действия: он обнаруживает себя в отношениях между противоположными суждениями (общеотрицательными и общеутвердительными).

Ошибки при применении закона исключенного третьего те же, что и применении закона непротиворечия. А именно, отношение понятий должно быть взято в одном месте, в одно время, и понятия должны быть понимаемы в одном смысле.

Из закона исключенного третьего следует ряд требований к нашим рассуждениям.

Во-первых, не надо уклоняться от признания истинности одного из двух противоречащих высказываний и не искать нечто третье между ними. Если одно из них признано истинным, то другое надо признать ложным. Конечно, закон не может указать, какое именно из данных суждений истинно. Этот вопрос решается при помощи практики, устанавливающей соответствие или несоответствие суждения объективной реальности.

Во-вторых, закон требует ясных, определенных ответов, указывая на невозможность отвечать на один и тот же вопрос в одном и том же смысле и «да» и «нет». Он четко ориентирует паше мышление на недопущение и устранение познавательной неопределенности в рассуждениях. Тот, кто руководствуется нормативными требованиями данного закона, способен быстрее прийти к верному выводу в тех случаях, когда в рассуждениях встречаются две противоречащие мысли.

В-третьих, во всех наших рассуждениях по поводу любых житейских, профессиональных, научных дел следует помнить, что этот закон действует только в рамках двузначной логики, т.е. логики, работающей с двумя значениями: истины или лжи. Соответственно, закон не распространяется на многозначные логики.

Сфера действия закона исключенного третьего в области управленческой деятельности менее широкая, чем закона непротиворечия, ибо он не распространяется на противоположные суждения. Но все же данный закон активно применяется в технических и логистических системах, где требуется формализация при решении задач, связанных с распределением потоков информации, транспорта, финансов, энергетики, рабочей силы и т.п.

Применительно к сфере человеческих отношений данный закон незаменим в решении правовых вопросов. Как отмечал К. Маркс (1818—1883), вся юриспруденция построена на законе «или—или». Только так решаются вопросы: виновен человек или не виновен; заслуживает он свободы или заключения.

Жизнь, управленческая деятельность разнообразны в своих проявлениях, и они чаще всего многозначны. Однако довольно обширна область явлений, процессов, которые развиваются по бинарной логике. Там, где имеет место двузначность свойств, связей и отношений, необходимо знание и применение нормативных требований мышления, вытекающих из данного закона.

Закон исключённого третьего — это один из основных общелогических принципов, согласно которому в процессе рассуждения всякое суждение или истинно, или ложно. Данный закон устанавливает связь между противоречащими друг другу осмысленными высказываниями (в рассуждении, в тексте или теории): одно (и только одно) из них истинно, другое ложно. Относится к четырём так называемым основополагающим логическим законам — закону тождества, закону противоречия, закону исключённого третьего и закону достаточного основания (см. Законы логики), которые подразумевают наиболее общие принципы (или постулаты) теоретического мышления и используются при оперировании понятиями и суждениями, в умозаключениях, доказательствах и опровержениях, и поэтому присутствуют практически во всех логических системах.

Закон исключённого третьего подразумевает, что если истинно A, то не истинно — не-A, либо наоборот, неистинно A и истинно не-A. Здесь буква A обозначает произвольное высказывание. Символически закон выражается формулой:

    A v ~ A, A или не-A.

Третьего не дано, как не дано ещё какого-либо B, которое претендовало бы на выражение истины. Таким образом, само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет.

Закон исключённого третьего непосредственно связан с законом противоречия (см. Закон противоречия), согласно которому два взаимно противоречащих высказывания не могут быть истинными в одно и то же время и в одном и том же отношении (то есть одно из них должно быть ложным). Оба эти закона были впервые сформулированы Аристотелем в его «Метафизике» (IV, 8); в применении к атрибутивным высказываниям вида «B есть C» они рассматривались также в его «Аналитиках». Впоследствии эти законы наряду с законом тождества («A есть A») были приняты схоластами в качестве основных законов логики. Оригинальная формулировка Аристотеля: «Оба утверждения A и не-A не могут быть одновременно ложны». Наряду с этим, в «Метафизике» встречается (не как закон, а как способ рассуждения) другая формулировка, в настоящее время более употребимая: «Одно из утверждений A или не-A должно быть истинным». Эта формулировка известна как сильный закон исключённого третьего и получила в схоластической логике название tertium non datur.

Аристотель указал также границы применимости tertium non datur, рассмотрев пример неопределённого высказывания: «Завтра будет морское сражение», которое сегодня не истинно и не ложно. Данный пример можно представить в следующем виде:

    Предположим, сегодня истинно, что завтра будет морское сражение. Из этого следует, что не может быть, чтобы завтра не было морского сражения. Следовательно, необходимо, чтобы завтра морское сражение произошло. Подобно этому тезису, если сегодня ложно, что завтра будет морское сражение, то необходимо, чтобы морское сражение завтра не произошло. Но высказывание о том, что завтра произойдёт морское сражение, сегодня истинно или ложно (логический принцип двузначности, в соответствии с которым всякое высказывание является либо истинным, либо ложным, то есть принимает одно из двух возможных истинностных значений — «истинно» и «ложно»). Принцип двузначности предлагает нам выбрать одну из этих двух альтернатив как верную, то есть или необходимо, чтобы морское сражение завтра произошло, или необходимо, чтобы оно завтра не произошло. В самом деле, если сегодня высказано «Завтра будет морское сражение или завтра не будет морского сражения», то это высказывание будет неопределённым, если неопределённы образующие его части. Но утверждение «Завтра будет морское сражение или неверно, что завтра будет морское сражение» будет истинно: если высказывание «Завтра будет морское сражение» неопределённо, то высказывание «Неверно, что завтра будет морское сражение» истинно.

Аристотель считал, что закон исключённого третьего следует ограничить высказываниями о прошлом и настоящем и не прилагать его к высказываниям о неопределённых будущих событиях, то есть к таким, наступление которых в настоящий момент ещё не предопределено, поскольку нет причины ни для того, чтобы они произошли, ни для того, чтобы они не случились.

От Аристотеля идёт традиция давать закону исключённого третьего три разные интерпретации:

  1. Логическая интерпретация. Закон понимается как принцип логики о высказываниях и их истинности: или высказывание, или его отрицание должно быть истинным.
  2. Онтологическая интерпретация. Закон понимается как утверждение об устройстве мира: всякий объект или реально существует, или не существует.
  3. Методологическая интерпретация. Закон понимается как принцип методологии научного познания: исследование каждого объекта должно вестись до тех пор и быть настолько полным, чтобы относительно каждого утверждения об этом объекте можно было решить, истинно оно или нет.

Закон исключённого третьего содержит в себе следующие предписания:

  1. Устанавливается альтернативность A и не-A и предлагается сделать выбор между ними по истинностному признаку.
  2. Запрещается выбирать в качестве альтернативы ещё какие-либо суждения.
  3. Устанавливается отношение контрарности (противоположности) между альтернативами таким образом, что одна из них является отрицанием другой.
  4. Трактуется универсальный приём логического мышления, согласно которому противоположное истине есть ложь.

На языке математической логики сильный закон исключённого третьего выражается формулой A ⋁ ¬A, которая часто подменяет его в современных математизированных работах и называется математическим законом исключённого третьего. Но последний не эквивалентен ни сильному закону исключённого третьего, ни аристотелеву закону. В частности, в алгебраической интерпретации со значениями в булевой алгебре выполнены все законы классической логики, но как A, так и ¬A могут быть неистинны. Сильный закон исключённого третьего математически означает полноту используемой теории, что практически недостижимо. Так, в случае рассуждений о бесконечных и неопределённых совокупностях объектов, об изменяющихся, текущих и тому подобных состояниях изучение объекта не всегда способно достичь такой полноты, чтобы на любой вопрос о нём удалось ответить однозначно «да» или «нет».

Сильный закон исключённого третьего оказался тем критическими местом, вокруг которого развивались дискуссии в течение всего времени существования логики как науки. Стоики и эпикурейцы рассматривали логики, несовместимые с законом исключённого третьего (как правило, не замечая разницы между его сильной и формулировкой Аристотеля). Интуиционизм начинался с утверждения о недостоверности сильного закона исключённого третьего, но он опровергает его достаточно тонко, сохраняя слабый закон исключённого третьего и придавая ему точную математическую формулировку: ¬¬ (A ⋁ ¬A), не вводя дополнительных логических значений. Эту формулировку ввёл Л. Брауэр в рамках критики применимости законов классической логики в математике (1908). Впоследствии её назвали брауэровым законом исключённого третьего. Брауэр был убеждён, что логические законы не являются абсолютными истинами, не зависящими от того, к чему они прилагаются. Возражая против закона исключённого третьего, он настаивал на том, что кроме утверждения и его отрицания имеется ещё третья возможность, которую нельзя исключить: она обнаруживает себя при рассуждениях о бесконечных множествах объектов. Ограничение Брауэром сферы действия этого закона существенно сужало круг тех способов рассуждения, которые применимы в математике и это сразу же вызвало резкую оппозицию многих математиков. Первое формальное доказательство брауэрова закона дал В. И. Гливенко (1928). Критика Брауэром закона исключённого третьего положила начало новому направлению в формальной логике (см. Логика формальная) — интуиционистской логике. В ней не принимается данный закон и отбрасываются все те способы рассуждения, которые с ним связаны.

В целом, закон исключённого третьего представляется теперь спорным законом логики, более того, в некоторых рассуждениях его следует считать ложным. Общая критика закона (в его сильной форме) сводится к следующим положениям. Он применим для рассмотрения терминов в фиксированной обстановке с фиксированной точки зрения. Он не подходит для меняющейся обстановки и субъективных понятий. Он не допустим даже для терминов, если исследователя интересует не просто доказательство, а построение. Тем не менее, во всех указанных случаях иногда его использование корректно и весьма эффективно, но требует дополнительных обоснований.