Опыты с лентой мебиуса

Лист Мёбиуса и опыты с ним

Министерство образования Республики Саха (Якутия)

МОУ «Мегино-Кангаласское управление образования»

МБОУ «Майинская средняя общеобразовательная школа

имени В.П.Ларионова с углубленным изучением отдельных предметов»

Лист Мёбиуса и опыты с ним

Каратаева Айыына, ученица 6 «а» класса

Руководитель Андреева Изабелла Николаевна,

учитель математики высшей категории

с.Майя 2016 г

Введение …………………………………………………………………………………………………………1

Актуальность …………………………………………………………………………………………………..2

Цель …………………………………………………………………………………………………………………2

Задачи ……………………………………………………………………………………………………………..2

Методы ……………………………………………………………………………………………………………2

Этапы научно – исследовательской работы …………………………………………………2

Часть I. Теоретическая часть ………………………………………………………………………….3

• Из истории. Август Фердинант Мёбиус ……………………………………………………

•Мёбиус и топология ………………………………………………………………………………….

• Применение листа Мёбиуса в технике ……………………………………………………….

•Лист Мёбиуса в произведениях искусства …………………………………………………..

• Скульптуры в виде ленты Мёбиуса………………………………………………………………

• Лист Мёбиуса в быту ……………………………………………………………………………………

• Лист Мёбиуса на различных логотипах, значках ………………………………………..

• Лист Мёбиуса в литературе ………………………………………………………………………..

Часть II. Экспериментальная часть

Эксперимент №1. Сколько сторон у листа Мёбиуса? …………………………………

Эксперимент №2. Итоги опытов с разрезанием листа Мёбиуса ……………….

Эксперимент №3. Разрезание листа Мёбиуса ……………………………………………..

Эксперимент №4. Обычное кольцо и ленту Мёбиуса ………………………………….

Эксперимент №5. Сколько раз поворачиваем …………………………………………….

Эксперимент №6 Разрезания лент ………………………………………………………………

Заключение …………………………………………………………………………………………

Введение

Актуальность

• Выбор темы сделан из- за нашего интереса к этому топологическому объекту;

• Топология в наше время бурно развивается и применяется в различных областях.

Цель

• Исследовать свойства удивительного топологического объекта – листа Мёбиуса

Задачи

• Изучить математическую литературу о этом объекте, исследовать полученную информацию.

• Изучить опыты с листом Мёбиуса и провести эксперименты.

• Вывести свойства листа Мёбиуса.

• Выяснить, где применяется листа Мёбиуса.

Методы

• анализ информации

• наблюдение

• сравнение

• практический эксперимент

Этапы научно – исследовательской работы

•Подготовка доклада, изучение материалов. Ноябрь 2016 г.

Часть I. Теоретическая часть

Из истории

Таинственный и знаменитый лист Мёбиуса (иногда говорят: лента Мёбиуса) придумал в 1858 году немецкий геометр Август Фердинант Мёбиус (1790 — 1868), ученик «короля математиков» Гаусса, профессор Лейпцигского университета. Мёбиус был первоначально астрономом, как Гаусс и многие другие из тех, кому математика обязана своим развитием. В те времена занятия математикой не встречали поддержки, астрономия давала достаточно денег, чтобы не думать о них, и оставляла время для собственных размышлений. И Мёбиус стал одним из крупнейших геометров XIX века. В возрасте 68 лет ему удалось сделать открытие поразительной красоты. Это открытие односторонних поверхностей, одна из которых – лист Мёбиуса.

Мёбиус и топология

Мёбиуса считают основателем топологии – науки, изучающей свойства фигур, не изменяющихся при любых деформациях, без разрывов и склеиваний.

Лист Мёбиуса – один из объектов области математики под названием топология (по – другому «геометрия положения»). Удивительные свойства лист Мёбиуса – он имеет один край, одну сторону, — не связаны с го положением в пространстве, с понятиями расстояния, угла и тем не менее имеют вполне геометрический характер. Изучением таких свойств занимается топология. Оказывается, свойства такого типа, несмотря на кажущуюся их непривычность, связаны как раз с наиболее абстрактными математическими дисциплинами, именно с алгеброй и теорией функций.

В топологии изучаются свойства фигур и тел, которые не меняются при их непрерывных деформациях (как если бы они были сделаны из резины).

С точки зрения топологии баранка и кружка – это одно то же. Сжимая и растягивая кусок резины, можно перейти от одного из этих тел ко второму. А вот баранка и шар – разные объекты: чтобы сделать отверстие, надо разорвать резину.

Понятия и теоремы топологии полезны математикам почти всех специальностей. Она используется и при применении математики в технике, экономике, психологии.

Применение листа Мёбиуса в технике

  • Полоса ленточного конвейера выполняется в виде ленты Мёбиуса, что позволяет ему работать дольше, потому, что вся поверхность ленты изнашивается равномерно.

  • Также в системах записи на непрерывную пленку применяются ленты Мёбиуса (чтобы удвоить время записи).

  • Во многих матричных принтерах красящая лента также имеет вид листа

Мебиуса для увеличения ее ресурса.

•Ленты для заточки ножей в ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса в произведениях искусства

  • Морис Эшер был одним из художников, кто особенно любил его посвятил несколько своих литографий этому математическому объекту.

  • Одна из известных – лист Мёбиуса показывает муравьев, ползающих по поверхности ленты Мёбиуса.

Скульптуры в виде ленты Мёбиуса

Лист Мёбиуса в быту

Лист Мёбиуса на различных
логотипах, значках

Лист Мёбиуса на значке механико – математического факультета МГУ.

Интернациональный символ повторного использования

Библиотечка Квант

Лист Мёбиуса в литературе

Лента Мёбиуса – любимый объект фантастических рассказов. В одном из них, например, пропал поезд Нью – Йоркского метро. Оказалось, что один из маршрутов пролегал по ленте Мёбиуса, поезд затерялся во времени.

Часть II. Экспериментальная часть

Лист Мёбиуса

Берем бумажную ленту АВСД, разделенную по ширине пополам пунктирной линией, прикладываем ее концы АД и ВС друг другу и склеиваем. Но не как попало, а так, чтобы точка А совпала с точкой С, а точка В — с точкой Д. Перед склейкой перекрутим ленту один раз. Получилось знаменитое в математике бумажное кольцо. У него есть даже особое название – лист Мёбиуса.

Эксперимент №1. Разрезание листа Мёбиуса

Попробуем разрезать обычное кольцо и лист Мёбиуса

Режу ножницами склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Если разрезать не перекрученную ленту, все было бы просто: из одного широкого кольца получилось бы два узких.

Возьмем лист Мёбиуса. Режу ножницами склеенную ленту посередине, вдоль пунктирной линии. Получилось не два кольца, а одно, вдвое уже, но зато вдвое длиннее. К тому же перекручено не один раз, а два.

Разрежем это кольцо еще раз посередине. Получится два сцепленных друг с другом кольца, каждое из которых дважды перекручено.

Вот какие неожиданные вещи происходят с простой бумажной полоской, если склеить из нее лист Мёбиуса. У этого листа масса удивительных свойств. Сейчас убедимся в этом.

Эксперимент №2. Сколько сторон у листа Мёбиуса?

У ленты, из которой сделан лист Мёбиуса, имеется две стороны. А у него самого, оказывается, есть только одна сторона!

Убедимся в этом: возьмем кисти и краски, начнем постепенно окрашивать его в какой – нибудь цвет, начиная с любого места. После окончания лист полностью окрашен.

«Если кто – нибудь вздумает раскрасить «только одну» сторону поверхности мёбиусовой ленты, пусть лучше сразу погрузит ее всю в ведро с краской», — пишут Рихард Курант и Герберт Роббинс в превосходной книге «Что такое математика».

• У листа Мёбиуса – всего одна сторона

Если на внутреннюю сторону обычного кольца посадить паука, а на наружную – муху и разрешить им ползать как угодно, запретив лишь перелезть через края кольца, то паук не сможет добраться до мухи. А если их обоих посадить на лист Мёбиуса, то бедная муха будет съедена, если, конечно, паук ползает быстрее!

Солдатик – перевертыш

Вырежем бумажного солдатика и отправим его вдоль пунктира, идущего посередине листа Мёбиуса. И вот он вернулся к месту старта. Но в каком виде! В перевернутом! А чтобы он вернулся к старту в нормальном положении, ему нужно совершать еще одно «круглолистное» путешествие.

Эксперименты для всех

Итоги опытов с разрезанием листа Мёбиуса

Возьмем ленту, разделим каждую ее сторону на три одинаковые полоски и склеим, перекрутив один раз лист Мёбиуса. Будем резать по пунктирной линии. Если бы лента не была перекручена, то сначала мы бы отрезали одно кольцо, а потом еще два остальных. Всего три кольца, каждое той же длины, что и первоначальное, но втрое меньшей ширины. Но у нас лист Мёбиуса. И, «не отрывая» ножниц от бумаги, разрежем по всем пунктирным линиям сразу и получим два сцепленных кольца. Одно из них вдвое длиннее исходного и перекручено два раза. Второе – лист Мёбиуса, ширина которого втрое меньше, чем у исходного.

Приготовим несколько листов Мёбиуса, перед склейкой разделив ленту на четыре и пять равных полос. Разрежем по пунктирным линиям. Результаты о поведении листа Мёбиуса запишем в виде таблицы.

На сколько полосок разрезан листа Мебиуса

Что получилось при разрезании

Большие кольца

Маленькие кольца

1 двухстороннее

1 двухстороннее

1 одностороннее

Остаток от n:2

Эксперимент №4.

Склеим обычное кольцо и ленту Мёбиуса под прямым углом и разрежем по пунктирной линии

Получилась квадратная рамка

Эксперимент №5

Сколько раз поворачиваем один конец ленты на полоборота

Какая поверхность получилась

1 раз

2 раза

3 раза

4 раза

Нечетное количество раз

Четное количество раз

Лист Мебиуса

двухсторонняя

односторонняя

двухсторонняя

односторонняя

двухсторонняя

Эксперимент №6 Разрезания лент

Если перед склейкой перекрутить ленту дважды, а потом разрезать посередине.

Если перед склейкой перекрутить ленту трижды, а потом разрезать пополам.

Поставили немало экспериментов по разрезанию лент. Результат запишем в виде таблицы.

Сколько раз повернута лента на полоборота

Разрезаем на полоски

На 2

На 3

На 4

На 5

На n

2 раза

2 сторон — няя

2 таких же сцепленных кольца

3 таких же сцепленных кольца

4 таких же сцепленных кольца

5 таких же сцепленных кольца

n таких же сцепленных кольца

3 раза

1 сторон- няя

1 большое

2стороннее кольцо с 1 узлом

1 большое

2стороннее кольцо + 1 маленькое 1стороннее завязаны в 1 узле

2 больших

2сторонних кольца

завязанных в 1 узле

2 больших

2сторонних кольца + 1 маленькое кольцо 1стороннее

завязаны в 1 узле

n:2 больших

2сторонних кольца + 1 маленькое 1стороннее кольцо, если n- нечетно, завязаны в 1 узле

Заключение

  • В ходе экспериментов доказаны следующие свойства листа Мёбиуса:

  • Односторонность. У листа Мёбиуса – всего одна сторона и только один край!

  • Непрерывность. Если двигаться не пересекая края ленты по ее центру, то конца движению не будет.

  • Двусвязность. Если разрезать его вдоль, он превратиться не в два отдельных кольца, а в одну целую ленту.

  • Лист Мёбиуса широко применяется в технике, в искусстве, в литературе, в быту, в архитектуре, в дизайне.

Список использованной литературы

2. Школьная энциклопедия. Математика. Под ред. Никольского С.М. М. Научное изд. «Большая Российская энциклопедия», 1996

3. Энциклопедия для детей. Аванта +. Математика, т.11.М.Аванта+. 2003

4. Интернет – ресурс:

Волшебная лента Мёбиуса. Забавный фокус для детей

Ольга Петрова
Волшебная лента Мёбиуса. Забавный фокус для детей

В одной руке у вас ножницы, другой большое кольцо, склеенное из длинной бумажной ленты. Ножницы протыкают эту ленту и аккуратно разрезают ее вдоль — точно посередине. «Ну вот, — подумаете вы, — сейчас получатся два отдельных кольца. Ещё последний «вжик» — и…» Но что это? Вместо двух колец получается одно! Причем оно больше и тоньше первоначального. «Такого не бывает», — скажете вы. Бывает. И даже еще не такое. Если только в руках у вас не обычное бумажное кольцо, а удивительная лента Мёбиуса.

Немецкий астроном и математик Август Фердинанд Мёбиус взял однажды бумажную ленту, повернул один ее конец на полоборота (то есть на 180 градусов, а потом склеил его с другим концом. То ли от скуки он это сделал, то ли научного интереса ради — теперь уже неизвестно. Зато доподлинно известно, что именно так и появилась еще в прошлом веке знаменитая лента Мёбиуса.

Чем же она знаменита? А тем, что поверхность ленты Мёбиуса имеет только одну сторону. Это легко проверить. Возьмите карандаш и начните закрашивать ленту в каком-нибудь направлении. Вскоре вы вернетесь в то место, откуда начали.А теперь поглядите внимательно: закрашенной оказалась вся лента целиком! А ведь вы ее не переворачивали, чтобы закрасить с другой стороны. Да и не смогли бы перевернуть, даже если бы очень захотели. Потому как поверхность ленты Мёбиуса — односторонняя. Такое вот у нее любопытное свойство наблюдается.

Что же из этого свойства следует? Следуют удивительные превращения ленты, если разрезать ее вдоль. Точно посередине — вы уже пробовали. А вот если разрезать ленту на расстоянии 1/3 ее ширины от края, то получаются два кольца — но! — одно большое и сцепленное с ним маленькое. Если же разрезать еще и маленькое кольцо вдоль посередине, то у вас окажется весьма «затейливое» переплетение двух колец — одинаковых по размеру, но разных по ширине. Чудеса? Попробуйте сами!

Ну а что, интересно, получится, если перед склеиванием ленты перекрутить ее два раза, то есть на 360 градусов? Такая поверхность будет уже двусторонней. И чтобы закрасить все кольцо целиком, вам придется непременно перевернуть ленту на другую сторону.

Однако свойства этой поверхности не менее удивительны. Ведь если разрезать ее вдоль посередине, то вы получите два одинаковых кольца, но опять же сцепленных между собой. А разрезав каждое из них еще раз вдоль посередине, вы обнаружите уже четыре кольца, соединенных друг с другом. Можно теперь рвать эти кольца по очереди — и всякий раз оставшиеся будут по-прежнему сцеплены вместе.

Лента Мебиуса — что это такое, свойства, как сделать ее из бумаги

Что такое лента Мебиуса

Лента Мебиуса – топологическая односторонняя поверхность. Топология – направление в математике, изучающее геометрические фигуры, сохраняющие свои характеристики вовремя закручивания и изгиба, сжимания и растягивания.

Свойства ленты Мебиуса

Лента, или как ее называют лист Мебиуса, это фигура с одним краем и одной стороной, у неё нет зависимости от расстояния, углов и нахождения в пространстве, что обуславливает собой удивительнейшее свойство листа. Лента — яркий пример поверхности с одной стороной, являющейся непрерывной. Значит, можно соединить две любые точки не нарушая границ.

При разрезании ленты вдоль, целостность её не нарушается. Они бывают левые (справа налево) и правые (слева направо).

Кому принадлежит открытие

Немецкий ученый Август Мебиус, имел два высших образования: астрономическое и математическое. Получив должность директора обсерватории, он продолжал исследования в математике. Они приносят ученому известность в научных кругах.

Август пишет статьи в области астрономии и математики, читает лекции студентам университета, но любовь к математическим наукам берет верх. Однажды вечером к Мебиусу подошла жена и попросила уволить их домработницу, мотивируя тем, что она не может сшить правильно ленточку. Август взял ленту в руки, стал рассматривать и обнаружил, что поверхность была односторонняя, у неё не было изнаночной стороны.

Так появилась математически обоснованная научная работа, получившая название ленты Мебиуса – необычной геометрической фигуры с непрерывной поверхностью.

Был и еще один ученый, открывший одностороннюю поверхность — Бенедикт Листинг. Эти два открытия были почти одновременно, но по неизвестным причинам открытию было присвоено название «лента Мебиуса».

Научное использование

Открытие листа Мебиуса широко используется в техническом и научном мире. Хорошо владея законами поверхности с одной стороной ученые все больше применяют ленту в новых изобретениях машин и механизмов, на её свойствах строятся новые теории.

Считается, что нашу вселенную стоит представлять в виде большущей петли Мебиуса. Она также находит отражение в оптических законах. Ученые считают отражение в зеркале именно петлей Мебиуса.

Использование на практике поверхности Мебиуса

Свойства односторонней поверхности – неотъемлемая часть многих изобретений. Оно берётся за основу в:

  • картриджах печатных машин;
  • абразивные ремни;
  • ленты для изготовления конвейеров;
  • ремни автоматических передач.

Использование характеристик петли Мебиуса в этих устройствах, эксплуатация изделий увеличивается в несколько раз потому, что амортизация равномерна по всей длине.

Согласно предположениям, выдвигаемым ученым миром, ДНК, представляющее спираль, выглядит, как лента Мебиуса, поэтому код трудно воспринимается и расшифровывается.

Не обошло вниманием использование петли в области спорта. Примером служат шахматы. Шахматная доска выполнена из зеркал и имеет форму петли Мебиуса. Поскольку шахматы необычные, правила игры у них имеют свои особенности. В дальнейшем появились:

  1. Шахматы для игры впятером.
  2. Шахматы для детей.
  3. Гравитационные шахматы.
  4. Многовитковые шахматы.

Как изготовить в домашних условиях ленту Мебиуса

Этот эксперимент можно проводить с детьми, у них он вызовет неподдельный интерес. Приступим:

  • берем лист бумаги (можно взять ткань) и вырезаем полоску любой ширины и длины;
  • на один конец наносим клей;
  • повернув второй конец на 180 градусов склеиваем концы.

Лента готова. Убедиться в её односторонности можно выкрасив обе стороны в разные цвета. Мы увидим, что это не возможно сделать. Она будет одного цвета.

Теперь берём карандаш, ставим точки с двух сторон ленты и пробуем их соединить. Казалось бы, невозможно, но это не так, точки соединяются.

Возьмем ножницы и разрежем её в длину посередине. Получим петлю вдвое больше первоначальной. Теперь разрежем не по средине, а на одну треть всей ширины. Логично было бы предположить, что будет лента втрое больше. Совсем не так. Получается две петли разного размера, одна внутри другой. Вариантов великое множество.

Попробуйте и вы самостоятельно сделать такие преобразования. Вас поразит разнообразие форм, и вы убедитесь в односторонности поверхности.

Что обозначает знак «лента Мебиуса» на упаковках

Покупая товары в магазинах чаще всего обращаем внимание на сроки годности и состав. Все остальные обозначения для нас неважны. Напрасно! Мы ведь хотим жить в экологически чистом государстве, дышать не загрязнённым воздухом. А ведь такая информация тоже находится на упаковке. Чаще такие знаки находят применение в перерабатывающей отрасли. Под этими обозначениями подразумевают:

  1. Токсичен ли материал, из которого произведен товар.
  2. Как поступить с упаковкой после использования (выбросить, сжечь, сдать в пункты приёма).
  3. Соответствие качеству товара.
  4. Знак того, что продукция перерабатывается вторично (непосредственно лента Мебиуса) и прочие.

Маркировок на упаковках товаров огромное количество. Желательно ознакомиться детально хотя бы с теми, которые встречаются всего, и приобретая товар обращать на них внимание.