Теорема геделя о неполноте

БОГ И ТЕОРЕМА ГЕДЕЛЯ

А началось все с того, что в десять лет я случайно наткнулся на научно-фантастический роман про межпланетные путешествия, прочел залпом — и увлекся астрономией. Начал читать популярную, а затем и более серьезную литературу, делал простейшие астрономические приборы, наблюдал за звездным небом.Но астрономия неотделима от математики и физики — и я стал изучать их по книгам, в каких-то областях оставив далеко позади школьную программу. К старшим классам я уже проникся внутренней красотой математики. И когда решил связать свою судьбу с педагогикой, с учительством — колебаний у меня не было. Преподавать буду именно математику!

Так я в 1983 году оказался на математическом факультете МГПИ имени В. И. Ленина. Надо сказать, что преподавание высшей математики там отвечало самым высоким требованиям. Я до сих пор с благодарностью вспоминаю своих преподавателей, которые не просто обучали своему предмету, но раскрывали его внутреннюю гармонию.

Впрочем, ближе к делу. В советское время среди прочих атеистических штампов очень популярна была идея о том, что религия — это торжество абсурда, что она никак не совместима с логическим мышлением, а логическое мышление — это основа основ, в мире есть только то, что описывается логикой. И вот я изучаю математическую логику, изучаю теорию числовых систем. Что же оказывается? Наши обыденные представления о логике поверхностны! Эта привычная нам логика неплохо работает на бытовом уровне, но если копнуть глубже — возникают неразрешимые парадоксы. И более того: оказалось, что с помощью логики невозможно доказать истинность самой логики! Об этом говорит знаменитая теорема Гёделя о неполноте формальных систем. Цепочка логических доказательств может тянуться сколь угодно далеко, но у нее все равно есть начало, все равно есть некие исходные посылки, доказать которые невозможно. Невозможно в принципе!

Это был серьезный удар по моему атеизму. Во всяком случае, по той версии атеизма, которую нам вдалбливали. Логика, оказывается, не абсолютна, у нее, оказывается, есть границы применимости. И более того — «мощность множества истинных утверждений больше мощности множества доказуемых утверждений». А если перевести с математического на человеческий — есть бесконечно много утверждений, доказать которые принципиально невозможно, но которые тем не менее верны!

Так можно ли требовать от верующих доказательств существования Бога и, не получив таковые, утверждать, будто Бога нет? Сейчас мне все это кажется банальностью, но лет в двадцать было настоящим открытием!

И еще был такой расхожий атеистический штамп — каверзный вопрос, звучащий со времен средневековья: «Может ли Бог создать такой камень, который не смог бы поднять?». Этот простейший парадокс призван был доказать, что, говоря о всемогуществе Божием, верующие несут чушь. Но если взглянуть на математическую подоплеку этого парадокса, окажется, что это лишь один из примеров тех парадоксов, которые возникли в конце XIX века в теории множеств, когда вошло в оборот понятие «универсального множества». Попробую объяснить «на пальцах». Множество — это совокупность каких-либо объектов, они, эти объекты, называются элементами множества. Множества бывают конечные, а бывают бесконечные. Есть понятие универсального множества — то есть совокупности любых множеств. И есть понятие дополнения множества — то есть совокупности всего того, что в данное множество не входит. Теперь вопрос: а у универсального множества есть дополнение? Если есть — то какое же оно тогда «универсальное»? Получается, что-то в него не входит? А если нет у него дополнения — то опять-таки оно получается не универсальным. Должно ведь включать в себя всё, в том числе и собственное дополнение!

Да, парадокс есть. Но о чем он свидетельствует? Да о том, что наши обывательские представления о бесконечности нуждаются в коррекции. Я тогда впервые задумался: а в каком же смысле верующие понимают всемогущество Божие? Потом были и книги, и споры, и сейчас мне смешно становится, когда я слышу претензии вроде «если Бог всемогущ, почему Он не может сделать так, чтобы все немедленно стали счастливы?». Как мечтал сталкер Шухарт у Стругацких в «Пикнике на обочине»: «Счастья для всех, даром, и чтобы никто не ушел обиженным». Да потому и не может, отвечаю я, что задавать подобные вопросы — значит неправильно понимать Его всемогущество, пытаться описать бесконечность в категориях конечного, применять инструмент там, где он неприменим. Топором хорошо дрова колоть, но не трепанацию черепа делать.

А тут необходимо сказать, что в математике есть два разных понимания бесконечности. Есть «потенциальная бесконечность» — это когда просто нет какого-то конца, нет границы. Например, нет самого большого числа — потому что к любому числу можно прибавить единицу и получится большее число. Но есть и «актуальная бесконечность» — это когда бесконечный объект понимается как нечто единое, цельное, когда с ним делают то же, что и, например, с числами: то есть бесконечности складывают и вычитают, преобразовывают, сравнивают… Именно «актуальная бесконечность» и порождает всяческие парадоксы. Именно идеей актуальной бесконечности мы — не всегда осознанно! — пользуемся, когда рассуждаем о Боге и о том, что Он всемогущ, вездесущ и всеведущ. Именно тут и возникает «камень, который нельзя поднять». Но эти парадоксы если что и доказывают — так только то, что мир гораздо сложнее, чем те модели, с помощью которых мы его описываем. И что мышление наше далеко от идеала, не всё мы можем постичь.

Это знание мне помогло, когда я размышлял над непостижимостью Бога. Ведь, с точки зрения советского атеиста, непостижимость — это очень обидно, это унизительно! Мы же так были уверены, что человек — это венец мироздания, что «в мире много сил великих, // но сильнее человека // нет в природе ничего». И тут оказывается, что есть вещи, которые мы не только сейчас, при нынешнем уровне науки познать не сможем, но и при любом уровне не сможем никогда! Оказывается, что наше мышление не универсально, что не охватить им всего сущего, а то, что мы называем «научной картиной мира» — это всего лишь модель. И все познание наше — это замена одних моделей другими, более совершенными, но все равно только приблизительно описывающими реальность.

Теперь оказалось, что эта наша ограниченность — вовсе не злобная выдумка церковников с их любимой присказкой «неисповедимы пути Господни», а объективный факт, подтверждаемый самой что ни на есть объективной наукой — математикой.

А еще оказалось, что математика может помочь лучше уяснить некоторые богословские утверждения, найти для них какие-то зримые аналогии. К примеру, ересь ариан, утверждавших, что Христос — это не Бог по Своей сути, а лишь первое, наиболее совершенное творение Божие. Тут аналогия — луч. То есть часть прямой: есть начало, нет конца. «Полубесконечность» такая. А православный ответ: не луч, а прямая. Нет начала. Настоящая бесконечность. Или — что такое «теозис» («обожение»)? Как человек, существо конечное, может уподобиться бесконечному Богу? Тут на помощь приходит понятие потенциальной бесконечности — то есть, соединяясь с Богом, человек преодолевает свою ограниченность, возрастает, ему открываются новые горизонты, и конца этому процессу нет. Однако нет и тождества с Богом — подобно тому, как принципиально невозможно взаимнооднозначное соответствие* между множеством натуральных чисел (то есть 1, 2, 3…) и множеством действительных чисел (то есть вообще всех чисел, известных человеку со школьным образованием — включая всяческие квадратные корни, число и так далее).

Математика не заставила меня уверовать в Бога, она всего лишь сняла те умственные барьеры, которые дало атеистическое воспитание, она расчистила дорогу к вере. Уверовал я позднее, пройдя через сомнения и шатания. Но это уже совсем другая история.

*Представьте себе множество кресел в кинотеатре — и множество зрителей. Если каждому зрителю найдется кресло и при этом все места будут заняты, тогда между этими двумя множествами есть «взаимнооднозначное соответствие». — Ред.

Эйнштейн о боге и спор с профессором

В интернете ходит интересная история о том, как молодой студент университета по имени Альберт Эйнштейн переубеждает своего профессора-атеиста, доказывая, что Бог существует. Учитывая анекдотический характер сказанного и высказываний Эйнштейна о религии, нет оснований полагать, что это подлинно. Давайте прочитаем эту историю.

Однажды профессор одного известного университета задал своим студентам вопрос:
— Является ли Бог создателем всего сущего?

Один из студентов храбро ответил:
— Да, является!
— То есть, вы считаете, что Бог создал все? — спросил профессор.
— Да, — повторил студент.
— Если Бог создал все, тогда Он создал и зло. А в соответствии с общеизвестным принципом, утверждающим, что по нашему поведению и нашим делам можно судить, кто мы такие, мы должны сделать вывод, что Бог есть зло, — сказал на это профессор.

Студент замолчал, поскольку не мог найти аргументов против железной логики преподавателя. Профессор же, довольный собой, похвастался перед студентами, что еще раз доказал им, что религия есть миф, придуманный людьми.

Но тут второй студент поднял руку и спросил:
— Можно в связи с этим задать вам вопрос, профессор?
— Конечно.
— Профессор, существует ли холод?
— Что за вопрос?! Конечно, существует. Вам же когда-нибудь бывает холодно?

Некоторые студенты захихикали над простецким вопросом своего товарища. Он же продолжил:
— В действительности, холода нет. Согласно законам физики то, что мы считаем холодом, есть отсутствие тепла. Только объект, испускающий энергию, поддается изучению. Тепло есть то, что заставляет тело или материю испускать энергию. Абсолютный ноль есть полное отсутствие тепла, и любая материя при такой температуре становится инертной и неспособной реагировать. Холода в природе нет. Люди придумали это слово, чтобы описать свои ощущения, когда им не хватает тепла.

Затем студент продолжил:
— Профессор, существует ли тьма?
— Конечно, существует, и вы это знаете сами… — ответил профессор.
Студент возразил:
— И здесь вы неправы, тьмы также нет в природе. Тьма, в действительности, есть полное отсутствие света. Мы можем изучать свет, но не тьму. Мы можем использовать призму Ньютона для того, чтобы разложить свет на его составляющие и измерить длину каждой волны. Но тьму нельзя измерить. Луч света может осветить тьму. Но как можно определить уровень темноты? Мы измеряем лишь количество света, не так ли? Тьма — это слово, которое лишь описывает состояние, когда нет света.

Студент был настроен по-боевому и не унимался:
— Скажите, пожалуйста, так существует ли зло, о котором вы говорили?
Профессор, уже неуверенно, ответил:
— Конечно, я же объяснил это, если вы, молодой человек, внимательно меня слушали. Мы видим зло каждый день. Оно проявляется в жестокости человека к человеку, во множестве преступлений, совершаемых повсеместно. Так что зло все-таки существует.

На это студент опять возразил:
— И зла тоже нет, точнее, оно не существует само по себе. Зло есть лишь отсутствие Бога, подобно тому, как тьма и холод — отсутствие света и тепла. Это — всего лишь слово, используемое человеком, чтобы описать отсутствие Бога. Не Бог создал зло. Зло — это результат того, что случается с человеком, в сердце которого нет Бога. Это как холод, наступающий при отсутствии тепла, или тьма — при отсутствии света.
Профессор замолчал и сел на свое место. Студента звали Альберт Эйнштейн.

Что альберт эйнштейн говорил про бога

Недавно выяснилось, что в конце своей жизни Альберт Эйнштейн написал письмо, в котором он отвергал веру в Бога как суеверную и охарактеризовал истории в Библии как детские. Казалось, что Эйнштейн согласился бы с Кристофером Хитченсом, Сэмом Гаррисом и Ричардом Докинсом в том, что религиозная вера принадлежит детству человеческого рода.Если читать замечательную биографию Уолтера Исааксона «Эйнштейн». В книге представлена ​​гораздо более сложная картина отношения великого ученого к религии, чем предполагалось. В 1930 году Эйнштейн написал своеобразное вероучение “Что я верю”, в конце которого он писал: “Чувствовать, что за всем, что можно испытать, есть что-то, что наши умы не могут понять, чья красота и возвышенность доходят до нас только косвенно: это религиозность. В этом смысле … Я набожный религиозный человек”.

В ответ молодой девушке, которая спросила его, верит ли он в Бога, он написал: “Каждый, кто серьезно участвует в поисках науки, убеждается в том, что дух проявленный в законах Вселенной — Дух, значительно превосходящий дух человека”.

Во время разговора в Союзной теологической семинарии о взаимоотношениях религии и науки Эйнштейн заявил: “Ситуация может быть выражена следующим образом: наука без религии хрома, религия без науки слепа”.

Размышления, которые делал Эйнштейн на протяжении всей своей карьеры в отношении Бога в некоторой степени совпадали с позицией весьма влиятельного немецкого богослова.

В своей книге “Введение в христианство” за 1968 год, Иосиф Ратцингер, ныне Папа Бенедикт XVI, предложил простой, но проницательный аргумент в пользу существования Бога: универсальная разборчивость природы, которая является предпосылкой появления всей науки, может быть объяснена только путем обращения к бесконечному и творческому разуму, который обращен к бытию. Ни один ученый, говорит Ратцингер, не начинал работать, до тех пор, пока не понимал, что аспекты природы, который он изучал, был познан, понятен и был обозначен формой. Но самое интересное, что все, что узнает ученый в ходе своей научной работы, — это все уже переосмыслено или осознано более высоким разумом.

Элегантное доказательство Ратцингера демонстрирует, что религия и наука никогда не должны быть врагами, поскольку обе они включают в себя идею существования Бога и разума. На самом деле многие утверждают, что не случайно, что современные физические науки возникли именно из западных христианских университетов, где идея мироздания через божественное слово была основной.

Есть еще интересное выражение Эйнштейна в книге под названием “Альберт Эйнштейн, человеческая сторона” Хелена Дюкаса и Банеш Хоффмана, где авторы цитируют письмо, которое Эйнштейн писал в 1954 году: “… Это была, конечно, ложь, которую вы читали о моих религиозных убеждениях, ложь, которая систематически повторяется. Я не верю в личного Бога, и я никогда не отрицал этого и выражаю это ясно. Если во мне что-то и есть, что можно назвать религиозным, то это неограниченное восхищение структурой мира.”

За математическое доказательство существования Бога вручена премия 820тыс. евро
Самую крупную научную премию в области математических косвенных доказательств существования Бога Геллер получил вчера в Нью-Йорке. 820 тысяч евро за математическое доказательство существования Бога. Теории престарелого философа, космолога, специализирующегося на метафизике и математики, его формула, способная объяснить всё, даже случайности, путём математических подсчётов – все это получило высочайшую оценку представителей фонда Темплтона, который выдает премию «За прогресс в исследованиях или открытиях в области духовных реалий» в течение вот уже 35 лет.
Михаль Геллер бывший архиепископом Кракова работал с папой Иоанном Павлом II и каждое лето папа приглашал его в свою летнюю резиденцию для обсуждения исследований Геллера.
«Работа профессора Геллера строится вокруг поиска фундаментальной теории творения. Его исследования идут дальше Эйнштейна в область квантовой механики, космологии, физики и чистой математики, включая собственную версию уравнения Гейзенберга. Хотя его теории не доказывают существования Бога, они могут предоставить косвенные доказательства его существования, — говорится в The Times.- Профессор Геллер выступает против ньютоновской концепции творения, то есть против идеи абсолютного пространства и абсолютного времени и Бога, создающего энергию и вещество. Он предлагает современным теологам вернуться к традиционной доктрине, согласно которой создание Вселенной было актом вне пространства и времени».
Кандидатуру профессора на получение премии выдвинул ректор Ягеллонского университета Кароль Муйжель. Он говорит, что Геллер ввел понятие теологии науки, тем самым сумев показать, что «религия, изолирующая себя от научных исследований, неубедительна, а наука, не признающая иные пути понимания, слепа».

Scisne?

Знаменитая Теорема Гёделя о неполноте имеет две версии — синтаксическую (объявленную и доказанную самим Гёделем) и семантическую (чаще всего фигурирующую в популярных рассуждениях о великой Теореме). Семантическая версия утверждает, что какую бы систему формальных доказательств ни придумать, в языке найдутся истинные утверждения, не доказуемые в рамках предложенной системы.
Таким образом, семантическая версия исходит из того, что некоторые выражения языка выражают осмысленные утверждения, являющиеся истинными или ложными. Синтаксическая версия не опирается на то, что какие бы то ни было выражения языка имеют какой-то смысл, она смотрит на выражения как на синтаксические конструкции, то есть как на цепочки символов, организованные по определённым правилам. Синтаксическая версия Теоремы Гёделя утверждает, что какую бы систему формальных доказательств ни придумать, в языке найдутся такие выражения, что ни их самих, ни их отрицания невозможно доказать в рамках предложенной системы.
Разумеется, обе версии предполагают выполнение некоторых естественных ограничений, налагаемых как на рассматриваемый язык, так и на систему формальных доказательств.
Среди таких ограничений центральное место занимает предположение о непротиворечивости языка. Для семантической версии нужна семантическая непротиворечивость, означающая, что никакое ложное утверждение не может быть доказуемым. Для синтаксической версии нужна синтаксическая непротиворечивость, означающая невозможность того, чтобы одновременно оказались бы доказуемыми и какое-то выражение и его отрицание.
Лекция посвящена синтаксической версии Теоремы Гёделя о неполноте (семантической версии были посвящены три лекции). Сам Гёдель доказал синтаксическую версию, используя более сильное, чем непротиворечивость, предположение, а именно так называемую омега-непротиворечивость. Через несколько лет после публикации Гёделя Россеру удалось заменить омега-непротиворечивость на простую непротиворечивость.
Когда Гёдель и Россер излагали свои теоремы, ещё не родилась теория алгоритмов. А она позволяет сделать более прозрачным изложение синтаксической версии — как в первоначальной гёделевской формулировке, то есть в предположении омега-непротиворечивости, так и в последующей россеровской формулировке, то есть в предположении простой непротиворечивости.
Лекции летней школы «Современная математика», г. Дубна.